Интегральное преобразование Фурье

В то время, как ряды, которые сейчас называют по имени Фурье, были известны еще из работ Эйлера, Бернулли и Лагранжа, интеграл Фурье является открытием самого Фурье. Он нашел, что разложение произвольной функции на гармонические составляющие остается возможным и в случае, когда область определения функции простирается в обе стороны до бесконечности. При этом основная частота (гармоника) стремится к нулю и суммирование переходит в интегрирование.

Что произойдет с разложением функции в ряд Фурье, если интервал разложения будет произвольно большим?

Пусть функция задана на отрезке (рисунок 1) и удовлетворяет условиям разложения в ряд. Запишем для нее ряд Фурье в комплексной форме:

,

где

.

Рисунок 1 – Функция, заданная на отрезке

Расширим область определения функции до более широкого интервала (рисунок 2).

Рисунок 2 - Функция, заданная на отрезке

Для новой функции ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:

, (1)

где

. (2)

Сравним основные гармоники при разложении в ряд Фурье функций и :

и .

Следовательно, ряды Фурье для функций и содержат гармоники с частотами:

и .

Предположим, что в раз больше, чем , то есть .

Согласно полученным результатам, для функции частоты перепишутся в виде:

то есть спектральные линии на оси частот для функции будут расположены в раз чаще и их будет в раз больше, чем в спектре функции (рисунок 3).

Введем в рассмотрение новую функцию непрерывного аргумента:

. (3)

Рисунок 3 – Дискретные спектры функций и

Подставим (2) в (1), учитывая (3):

Устремим , тогда и суммирование может быть заменено интегрированием:

. (4)

Формулы (3), (4) определяют соответственно прямое и обратное интегральные преобразования Фурье (ППФ и ОПФ) для функции , заданной на бесконечном интервале. В этом случае и дискретный спектр превращается в непрерывный (рисунок 4).

Рисунок 4 – Непрерывный спектр

Подытожим полученные результаты:

- ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на конечном интервале, как сумму периодических составляющих; ему соответствует дискретный спектр;

- интеграл Фурье представляет непериодическую функцию, заданную на бесконечном интервале, суммой периодических составляющих; ему соответствует непрерывный (сплошной) спектр.

Учитывая связь круговой и циклической частот , выражения (4), (5) перепишутся в виде:

(5)