Тригонометрические ряды (ряды Фурье) периодической функции периода

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

.

Условия сходимости этого ряда мы сформулируем дальше, сейчас предположим, что этот ряд сходится в любой точке, и что его сумма равна . Очевидно, что - периодическая функция периода (как сумма периодических функций). Выразим коэффициенты ряда через функцию . Умножая скалярно равенство на 1, получим

. Так как , , то все слагаемые в сумме равны нулю, поэтому , или . Умножим то же равенство скалярно на , в результате . Здесь равны нулю все скалярные произведения, кроме скалярного квадрата функции (в сумме при ), поэтому .

Умножая равенство на , получим . Окончательно

.

(параметр переобозначен ).