Перерізи множини раціональних чисел

Изобразим рациональные числа точками на числовой прямой. Произвольно взятая (фиксированная, заданная) точка прямой, разбивая прямую на две полупрямые, разбивает множество точек с рациональными координатами (множество рациональных чисел Q) на два подмножества, которые будем называть классами.

Нижний класс А состоит из рациональных точек (чисел), лежащих слева от заданной точки; верхний класс А^¢ состоит из рациональных точек (чисел), лежащих слева от заданной точки; верхний класс А ¢ состоит из рациональных точек, лежащих справа от заданной точки.

Заданную точку, производящую сечение, если она рациональная будем относить либо к нижнему классу, тогда она будет там наибольшим числом, либо к верхнему классу, тогда она будет там, наименьшим числом. Такие сечения производимые рациональными числами будем отождествлять (считать равными). Это отношение эквивалентности в множестве всех сечений. Каждое рациональное число попадет в один и только один из классов, верхний или нижний, любое число из верхнего класса больше любого числа из нижнего класса и классы не пусты:

1) A, A ¢¹Æ; 2) AUA^¢= Q; 3) A ^¢=Æ 4) "a ÎА " а ^¢ ÎА^¢ а < а^¢.

Сечением А ç A¢ множества Q рациональных чисел называется разбиение множества Q рациональных чисел на два не пустых непересекающихся подмножества, называемых классами (нижним А и верхним А ¢), так что любой элемент из нижнего класса А меньше любого элемента из верхнего класса A. Эти условия, определяют сечения не аппелируя к наглядной геометрической картине в теоретико-множественных терминах. Как станет ясно из дальнейшего такое определение сечения равносильно геометрическому. Пока о равносильности трудно говорить, поскольку еще не определены вещественные (не рациональные) числа соответствующие произвольным точкам прямой. Будем обозначать сечения множества рациональных чисел символом А ê A ¢.

Если в нижнем классе сечения есть наибольшее число, то “перебросив” его в верхний класс, получим сечение в верхнем классе которого указанное число будет наименьшим: если А ½ A ¢- сечение и

а = max A, то А \{ а }çА¢ { а }- тоже сечение и а = min (A ¢ { a }).

(а = min A ¢) (A { a }ê A ¢\{ a }) (а = max (A { a }))

Такие сечения множества рациональных чисел, как оговорено выше, отождествляем (считаем равными) и о каждом из них говорим, что оно производится рациональным числом а. Коротко сечение производимое рациональным числом а будем обозначать а ^*; именно оно (любое из двух отождествленных или скорее соответствующий класс эквивалентности сечений) будет играть роль рационального числа, а в конструируемом множестве вещественных чисел, включающем реализацию множества рациональных чисел в терминах сечений как подмножество. Рациональные числа из нижнего класса можно рассматривать как всевозможные рациональные “приближенные” значения координаты точки производящей сечение (вещественного числа) по недостатку, а рациональные числа из верхнего класса – как всевозможные рациональные “приближенные” значения координаты точки производящей сечение по избытку. Когда сечение производится рациональным числом, есть и точное рациональное значение координаты, которое можно отнести в любой из классов (верхний или нижний).

Есть сечения в нижнем классе которых нет наибольшего числа, а в верхнем – наименьшего. Например, определим сечение отнеся к нижнему классу все неположительные рациональные числа и рациональные числа, квадрат которых меньше двух (равенство, как установлено, невозможно):

А ={ а ê- аÎ Q ₊ {0}} { а ï аÎ Q ₊Ù a ²<2};

Для всякого числа из нижнего класса рассматриваемого сечения найдется большее его число из этого же класса и для всякого числа из верхнего класса найдется меньшее его число из этого же класса. Всякое число из нижнего класса этого сечения можно увеличить оставаясь в нижнем классе, а всякое число из верхнего класса – уменьшить оставаясь в верхнем классе.

Действительно рассмотрим положительное число из нижнего класса (для отрицательных чисел утверждение тривиально)

a > 0 Ù а ²<0

Определим натуральное n, nÎ N, из условия, чтобы рациональное число а + лежало в нижнем классе сечения, т.е. чтобы

Последнее неравенство выполняется и подавно, если n подчинить более простому для разрешения условно

поскольку , если n> 1.

Из упрощенного условия имеем (по принципу Архимеда для любого рационального числа найдется большее его натуральное). Таким образом, в нижнем классе рассматриваемого сечения не может быть наибольшего числа, поскольку для всякого числа из нижнего класса найдется большее его число из этого же класса.

Для числа а ¢ из верхнего класса, а ¢> 0 Ù a ¢²>2 потребуем, чтобы

.

Последнее неравенство выполняется и подавно, если n подчинить более простому для разрешения условию

поскольку

Из упрощенного условия имеем Существование решений означает, что в верхнем классе рассматриваемого сечения не может быть наименьшего числа.

Не существует сечений, у которых одновременно в нижнем классе имелось бы наибольшее число а ₀, а в верхнем классе – наименьшее а ^¢₀.

3От противного (by contradiction). Пусть такое сечение есть. Так как должно быть а ₀< a , то вставляя между ними рациональное число с, скажем а ₀<c< а придем к противоречию: с не может лежать в классе А, т.к. с > а ₀= max A и с не может содержаться в А ¢ т.к. с < а = min A ¢8

Итак, существует два вида сечений множества рациональных чисел:

а) сечения, которые производятся рациональным числом, которое есть либо наибольшим элементом в нижнем классе, либо – наименьшим элементом в верхнем классе, причем другой класс сечения не имеет экстремального элемента. Такие сечения группируются в пары из сечений, отличающихся отнесением числа производящего сечение к верхнему или к нижнему классу. Сечения пары отождествляются (считаются эквивалентными) и сопоставляются производящим их рациональным числам в множестве всех сечений отождествляемом с множеством вещественных чисел.

б) сечения, нижний и верхний классы которых, оба не имеют экстремальных элементов. Такие сечения интерпретируются как иррациональные числа. Здесь “иррациональный” значит “не рациональный” irrationalis - лат. неразумный в противоположность rationalis-разумный, действительный.