Выбор интервалов варьирования факторов

Каждый фактор, участвующий в эксперименте, имеет определенные пределы изменения своей величины, внутри которых он может принимать любое значение или ряд дискретных значений. Совокупность всех этих значений называется областью определения фактора. В области определения надо найти локальную подобласть для планирования эксперимента, т.е. для каждого фактора нужно указать тот интервал изменений параметров, в пределах которого проводится исследование. На основе априорной информации устанавливаются ориентировочные значения факторов, комбинации которых дают наилучший результат. Этой комбинации значений факторов соответствует многомерная точка в факторном пространстве, которая принимается за исходную точку при построении плана эксперимента. Координаты этой точки называются основными (нулевыми) уровнями факторов. Задача состоит в том, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте.

Представим себе координатную ось, на которой откладываются значения какого-нибудь фактора, например, температуры t°С. Пусть основной уровень уже выбран и равен 100°С. Это значение изображается точкой. Тогда два интересующих нас уровня можно изобразить двумя точками, симметричными относительно первой. Один из этих уровней верхний, другой нижний. За верхний уровень обычно принимается тот, который соответствует большему значению фактора.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровень фактора. Интервал варьирования - это расстояние на координатной оси между основным и верхним или нижним уровнем. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний —1, основной 0. Это делается с помощью формулы преобразования

где - кодированное значение фактора; - натуральное значение фактора; – натуральное значение основного уровня; - интервал варьирования; j - номер фактора.

Выбор интервалов варьирования является неформализованным этапом планирования эксперимента и производится на основе опыта и интуиции исследователя. При этом следует учитывать точность фиксирования факторов и оценивать силу влияния фактора на величину параметра оптимизации и величину ошибки измерения параметра оптимизации. Это поможет избежать ситуации, при которой интервал варьирования окажется недостаточным для того, чтобы уловить изменение параметра оптимизации. Важно учитывать характер решаемой задачи. При решении задачи оптимизации для первой серии экспериментов стремятся выбрать такой интервал варьирования, который давал бы возможность для шагового движения к оптимуму. Ориентировочно можно принять, что если интервал составляет не более 10% от области определения, то следует считать его узким, не более 30% - средним, более 30% -широким. Минимально наблюдаемое число уровней факторов определяется максимальным порядком интерполяционного полинома по данному фактору. Оно должно быть не единицу больше этого порядка. Наиболее широко применяется планирование на двух уровнях, которое позволяет описать процесс полиномиальной линейной моделью, включающей также и взаимодействия факторов, или определить направление движения к оптимуму. В этом случае в эксперименте используются значения факторов, соответствующие верхней и нижней границам интервала варьирования. Они называются соответственно верхним и нижним уровнями и обозначаются +1 или -1 (или знаками "+" или "-").

8.3.2 Полный факторный эксперимент типа 2

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. Если число факторов известно, то можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Чтобы определить число опытов, используется формула

N =2

где N - число опытов; k - число факторов; 2- число уровней.

Нетрудно составить все сочетания уровней в эксперименте с двумя факторами. Представим эти сочетания в виде таблицы (табл.8.1), где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента. Каждый столбец в матрице планирования называют вектором-столбцом, а каждую строку - вектором-строкой. В табл.8.1. два вектора-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра оптимизации.

Таблица 8.1

Матрица планирования эксперимента 2

№ опыта	X1	X2	Y
	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	y1 y2 y3 y4

То, что записано в этой таблице, в алгебраической форме, можно изобразить геометрически. Найдем в области определения факторов точку, соответствующую основному уровню, и проведем через нее новые оси координат, параллельные осям так, чтобы интервал варьирования для каждого фактора равнялся единице. Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вершинам квадрата, центром которого является основной уровень, а каждая сторона параллельна одной из осей координат и равна двум интервалам. Номера вершин квадрата соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Площадь, ограниченная квадратом называется областью эксперимента.

3 4

область

эксперимента

1 2

Рис. 4

Запись матрицы планирования, особенно для многих факторов громоздка. Для ее сокращения удобно ввести условные буквенные обозначения.

Это делается следующим образом. Порядковый номер фактора ставится в соответствии со строчной буквой латинского алфавита: Х₁-а, Х₂-b. Если теперь для строки матрицы плaниpoвaния выписать латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях, то условия опыта будут заданы однозначно. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях условимся обозначать единицей (табл. 8.2)

Таблица 8.2

№ опыта	X1	X2	Буквенное обозначение строк	Y
	- + - +	- - + +	a b ab	Y1 Y2 Y3 Y4

Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко запомнить или найти прямым перебором, тo с ростом числа факторов построение матрицы усложняется. Поэтому для перехода от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности рекомендуется следующий прием. При добавления нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Следовательно, можно записать исходный план для одного нового, фактора, а затем повторить его для другого уровня. Вот как это выглядит при переходе от эксперимента 2 к 2 (табл. 8.3)

Таблица 8.3

Построение матрицы 2

№ опыта	X	Х	Х	Буквенное обозначение	Y
	- - + + - - + +	- + - + - + - +	+ + + + - - - -	с ас. ас аbc b а аb	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Остальные приемы несколько сложнее и мы рассматривать их не будем.

По аналогии с полным факторным экспериментом 2 можно дать геометрическую интерпретацию полного факторного эксперимента 2 .

Геометрической интерпретацией служит куб, координаты вершин которого задают условия опытов. Если поместить центр куба в точку основного уровня факторов, а масштабы по осям выбрать так, чтобы интервал варьирования равнялся единице, то получится куб, изображенный ниже. Куб задает область эксперимента, а центр куба является центром этой области

3 4

7 8

1 2

5 6

Рис. 5

8.3.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2 ^к

Мы научились строить матрицы планирования полных факторных экспериментов с факторами на двух уровнях. Теперь выясним, какими общими свойствами эти матрицы обладают независимо от числа факторов. Говоря о свойствах матриц, мы имеем в виду те из них, которые определяют качество модели. Ведь эксперимент и планируется для того, чтобы получить модель, обладающую некоторыми оптимальными свойствами. Это значит, что оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими, и что точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве, ибо заранее не ясно куда предстоит двигаться в поисках оптимума. Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы. Первое из них - симметричность относительно центра эксперимента - формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или

x_ij = 0,

где j - номер фактора; N - число опытов.

Второе свойство - так называемое условие нормировки - формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или

x² _ij = N.

Это свойство - следствие того, что значения факторов в матрице задают +1, -1. Все это свойства отдельных столбцов матрицы планирования.

Теперь остановимся на свойстве совокупности столбцов. Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или

x_ijx_iu = 0, u j, j, u = 0, 1, 2, 3,..., k.

Это важное свойство называется ортогональностью матрицы планировки.

Четвертое свойство называется рототабельностью, т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра и не зависит от направления.

Пример. Даны две матрицы планирования:

a) - - b) - +

+ - + -

- + - +

+ + + -

Проверим выполнимость трех свойств для каждой из матриц. Первое свойство:

(-1)+(+1)+(-1)+(+1)=0 – первый столбец матрицы а),

(-1)+(-1)+(+1)+(+1)=0 – второй столбец матрицы а),

(-1)+(+1)+(-1)+(+1)=0 – первый столбец матрицы b),

(+1)+(-1)+(+1)+(-1)=0 – второй столбец матрицы b).

Второе свойство: x² _ij = N также выполняется для обеих матриц (столбцы обеих матриц имеют одинаковое число единиц). С третьим свойством, однако, дело обстоит иначе. Если для матрицы а) формула x_ijx_iu = 0, u j выполняется – (+1)+(-1)+

+(-1)+(+1) = 0, то для матрицы b) нет – (-1)+(-1)+(-1)+(-1) = - 4. Следовательно, матрица b) спланирована неверно.