Условные и безусловные вероятности

Для дальнейших рассуждений необходимо ввести понятия зависимых и независимых событий.

Случайные события могут быть взаимно независимыми или зависимыми одно от другого. Если два события являются взаимно независимыми, то вероятность появления одного из них не зависит от появления или не появления другого и не изменяется в зависимости от того, при каком предположении она вычисляется. Если событие А является зависимым от события В, вероятность его изменяется в зависимости от предположения от осуществления или неосуществления события А.

Теоретической характеристикой случайного события А, зависимого от события В, является условная вероятность появления события А, вычисленная в предположении осуществления события В. Обозначается она символом P(A/B). Можно встретить и такое обозначение P(A/BCD). Для взаимонезависимых событий А и В

Р(A/B)= P(A); P(B/A)= P(B),

т.е. условная вероятность равна безусловной.

Пример. В урне 20 шаров: 15 - белых; 5 - черных. Найти вероятность события А - вынуть 2 черный шар, при условии, что 1 шар - белый (В); при условии, что 1 шар - черный (С): P(A/B)=5/19; P(A/C)=4/19.

1.4. Основные формулы теории вероятностей.

Приведем ряд теорем и основных формул, вывод которых прост и имеется в любом учебнике по теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример. в урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Р(А)= 10/30 +5/30=1/2.

В общем случае вероятность суммы нескольких событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие. Если несовместные события A_1, A_2,…, An образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий:

Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ);

Р(А+В+С+)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС);

P( A_i)= P(A_i)- P(A_iA_j)+ P(A_i)P(A_j)P(A_k)-…

+(-1)^n-1P(A₁A₂…A_n).

Теорема умножения вероятностей для

независимых событий

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. В символической форме это значит Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Например, если имеются две группы изделий a ₁b₁c₁d₁e₁ и a₂b₂, причем из каждой группы производится случайная выборка изделий, то вероятность сов­местной выборки изделий а₁ и а₂ составит 1/5х1/2=1/10. Этому примеру можно дать и такую интерпретацию. Если дефектными изделиями являются только изделия а₁ и а₂, то вероятность, что оба изделия в осуществленной таким образом выборке из двух изделий будут дефектными, равна 1/10.

Аналогично этому, вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий:

Р(А₁А₂…А_n)=P(A₁)P(A₂)…P(A_n).

Рассмотрим теперь случай, когда приходится иметь дело с условными вероятностями. Предположим, что речь идет о партии из шести перчаток, в которой содержится 3 перчатки на правую руку и 3 перчатки на левую. Из этой партии мы случайным образом выбираем 2 перчатки, и нас интересует, какова вероятность выборки двух парных перчаток (одной перчатки на правую руку и одной - на левую).

Вероятность выбора правой перчатки при первом выборе равна 3/6. После выбора этой перчатки вероятность выбора левой перчатки 3/5. Следовательно, вероятность выбора сначала правой, а потом левой перчатки равна 3/6x3/5=9/30. Аналогично этому вероятность выбора вначале левой перчатки равна 3/6, а за ней правой – 3/5. Вероятность выбора этой пары равна 9/30. А вероятность выбора пары вообще равна

9/30+9/30=18/30

Теперь можно сформулировать теорему умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна безусловной вероятности первого события, умноженной на условную вероятность второго события. В символической форме это можно записать следующим образом:

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B).