Методом контурних струмів

Метод контурних струмів є одним з основних методів розрахунку складних електричних кіл, які широко використовуються на практиці. Виявляється, що розрахунок лінійного кола будь-якої складності можна звести до розв’язування системи рівнянь, якщо ввести поняття “контурний струм”. Контурним називається умовний струм, який циркулює тільки в даному контурі.

При цьому, якщо в – й вітці протікає один контурний струм, то дійсний струм в цій вітці дорівнює контурному. Дійсні струми у вітках, які є загальними для двох або для більшого числа контурів, дорівнюють алгебраїчній сумі відповідних контурних струмів. При розрахунку кіл методом контурних струмів відпадає потреба складати рівняння за першим законом Кірхгофа, а складається тільки система з рівнянь для незалежних контурів схеми.

Припустимо, що коло, розрахунок якого потрібно зробити, складається з незалежних контурів. Тоді, довільно вибравши додатні напрями обходу кожного контура, вважають їх також додатними напрямами контурних струмів (рис. 5.15).

Рис.5.15

Алгебраїчну суму ЕРС, які входять у – й контур, позначимо . При цьому ЕРС, напрям якої збігається з напрямом обходу контура, записують зі знаком “+”, якщо напрям ЕРС протилежний напряму обходу контура – зі знаком “–“. Сума опорів, які входять до контура , називається власним опором контура і позначається . Сума опорів у загальній для контурів i вітці називається спільним опором контурів i та позначається або . За другим законом Кірхгофа складаємо для всіх незалежних контурів систему з лінійних рівнянь:

(5.2)

……………………………

де є алгебраїчна сума ЕРС, які діють у даному контурі.

Домовимося, що біля контурних ЕРС і контурних струмів будемо ставити індекси римськими цифрами, а біля струмів у вітках – арабськими.

Відповідно до правила знаків власні опори контурів увійдуть у рівняння системи (5.2) із знаком “+”, оскільки додатний напрям контурного струму береться однаковим з додатним напрямом обходу цього контура. Спільні опори контурів (або ) увійдуть до рівняння системи із знаком “+”, якщо струми і збігаються за напрямом, то спільні опори (або ) входять до рівняння (5.2) із знаком “–“. Якщо вибирати додатними напрями обходу всіх контурів в один бік, наприклад, за рухом годинникової стрілки, то всі власні опори контурів увійдуть до рівняння системи із знаком “+”, а всі спільні опори контурів – зі знаком “–“. Тоді система (5.2) записується в такому

вигляді:

(5.3)

………………………………

Розв’язавши її, визначають контурні струми.

Після визначення контурних струмів знаходять дійсні струми віток. При цьому, якщо в – й вітці протікає один контурний струм, то дійсний струм у цій вітці дорівнює контурному. Дійсні струми у вітках, спільних для двох або кількох контурів, являють собою алгебраїчні суми відповідних контурних струмів.

Послідовність розрахунку така.

1. Визначити кількість вузлів у схемі.

2. Визначити кількість віток у схемі.

3. Обчислити число незалежних контурів .

4. Вибрати незалежні контури і позначити на схемі.

5. Довільно задатися напрямом контурних струмів і позначити їх на схемі. Обхід контурів під час складання рівнянь має відбуватися за напрямом контурних струмів.

6. Скласти систему рівнянь за другим законом Кірхгофа (число рівнянь

має дорівнювати числу незалежних контурів).

7. Розв’язати систему рівнянь і визначити контурні струми.

8. За знайденими контурними струмами визначити дійсні струми у

вітках.

9. Виконати перевірку за другим законом Кірхгофа.

10. Перевірити баланс потужностей (як і за попереднім методом).

Приклад 4. Виконати розрахунок електричного кола, схема якого зображена на рис. 5.1, методом контурних струмів.

Рис.5.16

Розв’язання.

1. Джерело струму перетворимо на джерело ЕРС, замкнувши струм

через опір . Дістанемо схему на рис. 5.16, де

2. Визначимо число вузлів у схемі

3. Знайдемо число віток у схемі

4. Визначимо кількість незалежних контурів

5. Виберемо незалежні контури і позначимо на схемі І, ІІ, ІІІ.

6. Довільно задамося напрямом контурних струмів і позначимо їх на схемі напівкруглими стрілками.

7.Складемо систему рівнянь за другим законом Кірхгофа для кожного

контура:

;

;

,

де: ; ; – це є власні опори контурів І, ІІ, ІІІ; ; ; – це є спільні опори контурів 1 і 2, 1 і 3, 2 і 3; ; ; – контурні ЕРС.

Отже, піставивши числові значення опорів і ЕРС, дістанемо систему рівнянь:

;

;

.

8. Розв’язавши систему, знайдемо контурні струми:

; ; .

Контурні струми і мають знак “–“. Отже, їх дійсні напрями слід замінити на протилежні:

, .

Накреслимо неперетворену схему (рис.5.17) і на ній покажемо справжні напрями струмів.

9. За знайденими контурними струмами знайдемо струми у вітках:

;

.

Струм знайдемо за першим законом Кірхгофа для першого вузла. Довільно виберемо його напрям від першого до другого вузла (рис. 5.17):

,

Звідки

.

Струм має знак “+”, отже, його напрям вибраний правильно. Визначаємо струми:

;

;

.

10. Перевірка за другим законом Кірхгофа і за балансом потужностей виконується так само, як і в попередніх методах.

5.4. Розрахунок електричних кіл методом вузлових напруг (потенціалів)

Метод вузлових напруг, як і метод контурних струмів, є одним з основних методів розрахунку складних електричних кіл. Якщо число вузлів схеми без

одиниці менша від числа незалежних контурів , тобто < , метод вузлових напруг є економічнішим ніж метод контурних струмів з розрахункової точки зору.

Вузловими називаються напруги між кожним з вузлів і одним визначеним, але довільно обраним опорним вузлом, потенціал якого умовно беруть таким, що дорівнює нулю. Це не вплине на струморозподіл у вітках схеми. Вказаний вузол позначимо цифрою 0 (рис. 5.18,а).

Рис.5.18

Вузлова напруга має додатний напрям від – го (1, 2, 3, …, ) до опорного вузла. Визначивши вузлові напруги відносно опорного вузла, легко знайти напругу між іншими парами вузлів і за законом Ома визначити струми у вітках кола. Отже, в разі використання цього методу шуканими величинами є вузлові напруги ( ), число яких дорівнює . Оскільки за першим законом Кірхгофа для будь-якого кола можна записати незалежних рівнянь, то при розрахунку цим методом немає потреби складати рівняння за другим законом Кірхгофа.

Нагадаємо, якщо між вузлами і ввімкнена вітка з джерелом ЕРС і опором (рис. 5.18,б), то струм у цій вітці визначатиметься згідно із законом Ома так: складають для вітки (рис. 5.18,б) рівняння за другим законом Кірхгофа, вважаючи її замкненим контуром:

,

aбо

, (5.7)

звідки

(5.8)

де ;

(5.9)

і . (5.10)

Тут і далі вважатимемо, що , тобто розглядаються вітки і напруги між двома різними вузлами. Якщо між вузлами і ввімкнути кілька паралельних віток з джерелами ЕРС або без них, то їх завжди можна перетворити на одну еквівалентну вітку з еквівалентним ЕРС.

(5.11)

і еквівалентною провідністю

(5.12)

при цьому

. (5.13)

Розрахунок меотдом вузлових потенціалів проілюструємо на конкретному прикладі, а потім узагальнимо для будь-якої схеми.

Нехай потрібно зробити розрахунок схеми, зображеної на рис. 5.19.

1. Довільно задаємося напрямом струму у вітках і позначаємо їх на схемі

2. Позначимо вузли на схемі 1, 2, 3, 0. Потенціал нульового вузла нехай дорівнює нулю .

3. Складемо рівняння за першим законом Кірхгофа для ( ) вузлів, тобто, для всіх, крім нульового (для 1–3 вузлів). Струм, напрямлений від вузла, запишемо зі знаком “+”, до вузла – зі знаком “–“.

а) для 1-го вузла ;

б) для 2-го вузла ;

в) для 3-го вузла .

4. Позначимо напругу між -м і нульовим вузлом , тобто

– напруга між 1-м і 0-м вузлами;

– напруга між 2-м і 0-м вузлами;

– напруга між 3-м і 0-м вузлами.

Це будуть шукані напруги (або потенціали).

Якщо необхідно визначити напругу між двома будь-якими вузлами, то вона дорівнюватиме різниці потенціалів між цими вузлами. Наприклад, .

5. За законом Ома знайдемо струм у кожній вітці:

;

; ;

; ; .

6. Підставимо ці значення струмів у рівняння, складені для кожного вузла в п.3.

а) для 1-го вузла

;

або, звівши подібні члени і перенісши відомі величини вправо, дістанемо

;

б) для 2-го вузла

;

або

;

в) для 3-го вузла

;

або

.

7. Запишемо здобуту систему рівнянь:

;

; (5.14)

.

8. Подамо тепер систему рівнянь у загальному вигляді:

(5.15)

Порівнюючи коефіцієнти при однакових невідомих у кожному рівнянні окремо систем (5.14) і (5.15), бачимо, що

.

Це є власні провідності 1-го, 2-го і 3-го вузлів. Розглядаючи розрахункову схему, бачимо, що власні провідності вузлів – це сума провідностей віток, які збігаються у даному вузлі. Наприклад,

; ; . (5.16)

Усі власні провідності вузлів мають однакові індекси і входять до рівнянь зі знаком “+” (тут =1, 2,3)

(5.17)

і т.д. називаються спільними провідностями вузлів: – між 1-м і 3-м вузлами; –між 2-м і 3-м вузлами; –між 1-м і 2-м вузлами (як бачимо зі схеми, між 2-м і 3-м вузлами електричного зв’язку немає, тобто опір між цими вузлами дорівнює нескінченності, отже, провідність дорів-нює нулю.

Спільні провідності між вузлами і мають різні індекси і входять до рівняння зі знаком “–“.

Узагальнюючи здобуті висновки для схем з будь-яким числом вузлів (наприклад, ) дістаємо таку систему рівнянь:

…………………………………………

(5.18)

9. Визначаємо задавальні струми, які входять до -го вузла (див. рис. 5.19)

до 1-го вузла

;

до 2-го вузла

до 3-го вузла

.

Рис.5.19

Знак задавального струму визначається так: якщо ЕРС напрямлена до розглядуваного вузла, то беруть зі знаком “+”, у противному разі

– зі знаком “–“.

Якщо до вузла надходить струм від джерела струму , то струм, напрямлений до вузла, записують зі знаком “+”, а струм, напрямлений від вузла – зі знаком “–“.

Послідовність розрахунку така.

1. Визначити кількість вузлів і позначити їх на схемі.

2. Потенціал одного з вузлів схеми взяти таким, що дорівнює нулю () і позначити його на схемі. Наприклад, якщо в схемі чотири вузли, їх позначають так: 1, 2, 3, 0.

3. Скласти систему рівнянь. Слід скласти () рівняння. Наприклад, якщо в схемі чотири вузли, то систему потрібно скласти з трьох рівнянь:

де –напруга між вузлами 1 і 0 (потенціал 1-го вузла), – напруга між вузлами 2 і 0; – напруга між вузлами 3 і 0 (потенціал 3-го вузла); – власна провідність 1-го вузла, яка дорівнює сумі провідностей, віток, що збігаються в даному (1-му) вузлі.

Нагадаємо, що провідність – це величина, обернена опору, ( ); – власні провідності 2-го і 3-го вузлів; – загальна провідність між вузлами 1 і 2; – загальна провідність між вузлами відпо-відно 1 і 3, 2 і 3; (або ), (), () – задавальний струм відповідно вузла (1, 2, 3).

Останній дорівнює алгебраїчній сумі струмів джерел струму (), які збі-гаються в цьому вузлі, плюс алгебраїчна сума часток від ділення ЕРС, які теж збігаються у даному вузлі, на опір вітки, в яку ввімкнена відповідна ЕРС ().

Для джерел струмів знак “+” ставиться перед струмом, напрямленим до розглядуваного вузла, якщо струм напрямлений від цього вузла, ставиться знак

“–“. Для знак “+” ставиться тоді, коли напрям ЕРС, показаний стрілкою до розглядуваного вузла, у противному разі ставиться знак “–“.

У лівій частині рівнянь знак “+” ставиться тільки перед власними провідностями, а перед рештою – знак “–“.

4. Розв’язати систему рівнянь і визначити вузлові напруги , , тощо, якщо система вищого порядку.

5. За законом Ома визначити струм у вітках

де -та вітка, увімкнена між вузлами 1 і 2, струм напрямлений від вузла 1 до вузла 2.

6. Виконати перевірку за першим законом Кірхгофа.

7. Перевірити баланс потужностей.

Приклад 5. Розрахувати електричне коло, зображене на рис.5.1.

Розв’язання.

1. Схему накреслимо у вигляді рис.5.20. Визначимо кількість вузлів у схемі і позначимо їх на схемі: 0,1,2,3.

Рис.5.2020

2. Потенціал вузла 0 візьмемо таким, що дорівнює нулю .

3. Складемо систему рівнянь. Оскільки в схемі чотири вузли, то систему потрібно скласти з рівнянь, тобто з трьох.

Запишемо формальну систему:

,

де

не визначається (на нуль ділити не можна);

;

; ; ; .

– не визначається; ; .

Отже, із складеної системи рівнянь перше використати неможливо, оскільки і не визначені. Але при цьому відома величина . Зважаючи на те, що опір у вітці 1-0 дорівнює нулю (це є ідеальне джерело

ЕРС), спаду напруги у вітці не буде.

Підставляємо числові значення параметрів кола в останні два рівняння:

4. Розв’язуємо систему рівнянь:

звідки

;

5. За законом Ома знаходимо струми у вітках схеми:

Напрям струму визначаємо так. Якщо взяти , то вважаємо, що потенціал 1-го вузла більший від потенціалу 3-го. При цьому, якщо здобуваємо додатне число, то це справді так, якщо від’ємне – навпаки. Отже, струм є зі знаком "+", це свідчить про те, що струм напрямлений від 1-го до 3-го вузла.

;

;

Оскільки має від’ємний знак, то він напрямлений від нульового вузла до другого ().

.

Струм спрямуємо довільно від 1-го вузла до 0-го і запишемо рівняння за першим законом Кірхгофа для 1-го вузла:

.

Звідки

.

6. Перевірку за першим законом Кірхгофа і балансом потужностей виконаємо так само, як і в попередніх методах.