Критерии оптимизации приёма дискретных сообщений

I.Критерий идеального наблюдателя, или критерий Котельникова

Это критерий, по которому качество приёмника оценивают безусловной вероятностью правильного приёма сигнала.

Пусть на вход приёмника в течение тактового интервала 0-Т приходит некоторый элемент сигнала Z(t). Предположим, что приёмник принимает при этом решение, что передан символ . Вероятность того, это решение правильно, очевидно, равна условной вероятности того, что действительно передавался символ при условии прихода реализации элемента сигнала Z(t), . Её называют обычно апостериорной вероятностью символа (то есть вероятностью, определённой после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигнала Z(t).)

Очевидно, что вероятность правильного приёма будет максимальной в такой решающей схеме, для которой апостериорная вероятность максимальна. Другими словами, критерий идеального наблюдателя обеспечивается решающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятности – решение о принимается в том случае, если выполняется система из m-1 неравенств:

(11.3)

Согласно известной формуле Бейеса для :

(11.4)

где – n-мерная плотность вероятности вектора Z, – априорная вероятность передачи символа (то есть та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования).

Подставив (11.4) в (11.3) и учитывая, что – безусловная плотность вероятности, не являющаяся функцией i, можно записать правила решения для идеального наблюдателя в следующей форме:

, (11.5)

где – функция правдоподобия i -той гипотезы

Для построения решающей схемы по правилу (11.5) необходимо знать априорные вероятности символов , определяемые источником, а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности вероятности. – функции правдоподобия.

Недостатком критерия максимума апостериорной вероятности является тот факт, что он обеспечивает большую вероятность правильного приёма за счёт сокращения области маловероятных и расширения области приёма высоковероятных символов; в результате редко передаваемые символы передавались бы менее надёжно, а они несут больше информации.

II. Правило (11.5) можно записать иначе - решение о том, что передавался символ , должно приниматься, если для всех выполняется m-1 неравенств:

(11.6)

Отношение в левой части этого неравенства называется отношением правдоподобия двух гипотез о том, что передавался символ . Его обозначают .

Для двоичной системы правило сводится к проверке

(11.7)

Во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям.

III. Учёт последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов приводит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием критерия минимального среднего риска (или байесовского критерия). Если при передаче символа принят символ , то при имеет место ошибка.

Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой парой символов и связывать некоторую численную величину, называемую «потерей», обозначив её Lij. Величина «потери» зависит от того какой символ принят вместо переданного . Правильному приёму при этом приписывается нулевая потеря.

Так как при передаче символа символ появляется с определёнными вероятностями как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины «потери» при передаче конкретного символа . Назовём это условное математическое ожидание условным риском:

(11.8)

Интервал берётся по области решающей схемы и представляет вероятность того, что сигнал Z(t) попал в эту область, если передавался символ . Усреднив условный риск по всем символам , получим величину, называемую средним риском:

(11.9)

Критерий минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска . Приёмник, работающий по такому критерию называется байесовским. Из (11.9) видно, что при использовании этого критерия нужно помимо априорных вероятностей передачи отдельных символов знать и величины потерь Lij. Заметим, что если считать все ошибки равноценными (), то критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приёмник совпадает с идеальным приёмником Котельникова.

IV Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, особенно типична для радиолокации, когда приёмник, анализируя принимаемое колебание Z(t) (отражённый сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет. Последствия двух родов ошибок ложной тревоги и пропуска цели – неравноценны.

В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приёма, известным под названием критерия Неймана Пирсона. Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели .

Введём в рассмотрение функции правдоподобия гипотезы об отсутствии цели w(Z/0) и о наличии цели w(Z/1).

Минимизация при заданной величине достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства.

(11.10)

Где – пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги

В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия. В том случае, когда все символы передаются равновероятно, правило максимального правдоподобия переходит в критерий идеального наблюдателя. Часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных но не одинаковых априорных вероятностях символов. Правило максимального правдоподобия переходит в критерий минимума среднего риска, если положить .

Существуют так же и другие критерии, например, критерий взвешенной вероятности ошибки, минимаксный критерий, при котором коэффициент потерь считается заданным и другие.

Выбор того или иного варианта критерия оптимальности называют стратегией. Стратегия определяется исходными данными при проектировании. Наиболее простая стратегия соответствует критерию максимального правдоподобия. Рассматриваемые задачи в статистической теории связи классифицируются как задачи распознавания и задачи обнаружения сигнала. Например, при амплитудной телеграфии (АТ) – передача с «пассивной паузой» - приёмное устройство выполняет функции обнаружителя. (Термин «обнаружение» первоначально возник в радиолокации). В случае частотной или фазовой телеграфии (ЧТ или ФТ) приёмное устройство работает по принципу распознавания.

11.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. (Когерентный приём)

Полностью известными называются сигналы, у которых известны информационные параметры (то есть параметры, которые модулируются).

Когерентный приём – это приём полностью известных сигналов.

Предположим, что в канале действует наиболее типичная помеха – гауссовский аддитивный шум N(t), который в начале будем считать белым (широкополосным) со спектральной плотностью . Это значит, что при передаче сигнала (символа , i=0,1, …,m-1) приходящий сигнал можно описать моделью:

(11.11)

где все известны. Неизвестны лишь реализация помехи и индекс i действительно переданного сигнала, который и должна определить решающая схема.

Будем также считать, что все сигналы являются финитными.

Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального приёмника, анализирующего сигнал на тактовом интервале 0-Т по критерию максимального правдоподобия.

Алгоритм предусматривает ряд отдельных последовательных действий – «шагов»

1) Примем так называемую нулевую (или шумовую) гипотезу: S(t)=0; Z(t)=N(t)=ш.

То-есть предположим, что на вход приёмника поступает только шум.

2) Задача затрудняется тем, что ширина спектра сигнала бесконечна (поскольку он финитный), а поэтому пространство сигналов бесконечное. Для таких сигналов не существует плотности вероятностей. Однако существуют n-мерные плотности вероятностей для любых n сечений сигнала. Поэтому заменим белый шум квазибелым, имеющим ту же одностороннюю спектральную плотность мощности , но только в некоторой полосе частот F.

3) Возьмём на тактовом интервале (Т) n равноотстоящих сечений через . Отсчёты в этих сечениях квазибелого гауссовского шума независимы.

4) Поэтому n-мерная плотность вероятностей для взятых отсчётов:

(11.12)

где – дисперсия (мощность) квазибелого шума.

5) При гипотезе, что передавался символ , согласно (11.11) . Следовательно, условная n-мерная плотность вероятности сечений Z(t) определяется такой же формулой, как и (11.12), если заменить разностью , представляющей при этой гипотезе шум:

(11.13)

6) Отношение правдоподобия для сигнала (относительно дополнительной гипотезы), вычисленное для n сечений:

(11.14)

7) Заменим дисперсию её выражением

Тогда

(11.15)

8) По правилу максимума правдоподобия в случае квазибелого шума решающая схема должна выбирать значение i, обеспечивающее максимум . Вместо максимума можно отыскивать максимум его логарифма:

(11.16)

9) Второй член в (11.16) можно при сравнении гипотез не учитывать, он сокращается. Тогда правило решения о том, что передавался символ , согласно (11.7) можно выразить системой неравенств:

(11.17)

10) Вернёмся теперь к исходной задаче для белого шума. Для этого будем расширять полосу F, тогда число сечений n стремится к бесконечности, – к нулю. Суммы в (11.17) обратятся в интегралы, и правило решения определяется так:

(11.18)

Выражение (11.18) определяет те операции (алгоритм работы), которые должен совершать оптимальный приёмник над входным колебанием Z(t).

Раздел 12. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех (продолжение)