Функция и ее свойства

Многие задачи радиотехники, например вычисление отклика физической системы на известное входное воздействие, требуют специфической формы представления сигналов. Необходимо не только располагать информацией о мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение на всей временной оси как «в прошлом», так и «в будущем».

Принцип динамического представления состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Если теперь устремить к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то, естественно в пределе будет получено точное представление исходного сигнала

Широкое применение нашли два способа динамического представления. Согласно первому из них в качестве элементарных сигналов используются ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени ∆

В нашем курсе будет постоянно использоваться аппарат дельта - функций. Дельта- функция как раз и является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью).

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом:

υ

где: - функция включения: νξ

При любом выборе параметра ξ площадь этого

импульса равна единице: t

0

Например, если υ – напряжение, то В·с.

Пусть теперь величина ξ стремится к нулю. δ (t-t₀ )

Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет

свою площадь, поэтому его высота должна

неограниченно возрастать. Предел последовательности

таких функций при носит название дельта- функции t

или функции Дирака:

t₀

Дельта-функция интересный математический Графическое изобра-

объект. Будучи равной нулю всюду, за исключением жение δ-функции

точки (принято говорить, что она сосредото-

чена в этой точке), δ- функция тем не менее обладает единичным интегралом:

т.е. площадь, ограниченная дельта - функцией, равна единице.

Полезным для расчетов является фильтрующее свойство δ-функции, которое заключается в следующем. Интеграл от произведения от некоторой функции u(t) на δ-функцию равен значению этой функции при t, для которого δ(t) ≠ 0.

Например:

Согласно (2.1) спектральную плотность δ-функции можно представить в виде:

Можно представить также в виде обратного преобразования Фурье от = :

По аналогии с выражением (2.15) можно представить δ-функцию в частотной области:

Используя (2.16) можно получить представление спектральной плотности для ряда неинтегрируемых сигналов.

1) Спектральная плотность постоянного по времени сигнала

2) Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала

=2

3) Спектральная плотность гармонических колебаний:

,

,

4) Спектральная плотность произвольного периодического сигнала

5) Спектральная плотность функции включения

6) Спектральная плотность радиоимпульса

Применяя теорему о свертке и фильтрующее свойство δ-функции, получим: