 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
A ¯| ^110 v110 ;v110v110
|
|
Следствие 16. Расстояние меукду точками A (a 1; a 2; a з) и B(b1;b2; bs) моукет быть вычислено по формуле
|AB| = х/(b 1 - a 1)2 + (b 2 - a 2)2 + (b з - a з)2. (3.3)
Доказательство. Пусть a ¯ = AB. Тогда a ¯ = OB - OA = (b 1 - a 1; b 2 - a 2; b з - a з). Отсюда
|AB| = | ¯ a| = л (b 1 - a 1)2 + (b 2 - a 2)2 + (b з - a з)2.
П Задача 18. Найти длину |AB| отрезка AB, где A(1; 0; 3) и B (0; 2; 1). Решение. В силу формулы (3.3) имеем
|AB| = v/(0 - 1)2+ (2 - 0)2+ (1 - 3)2 = 3. П
Задача 19. Даны векторы ¯ a = (2; - 1; 3), ¯ b = (4; 0; - 3). Найти (а) ¯ a- ¯ b, (Ь) | 3 a ¯ - 2¯ b|, (с) нормировать векторы ¯ a и ¯ b.
Ответ: (а) - 1; (Ь) v/238; (с) e ¯ a = (- 2 1, ^, -^), e ¯ b ^ = (0, 8; 0; - 0, 6).
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
3.6 Угол меж:ду двумя векторами
Теорема 17. Косинус угла ω меукду
a ¯ = (a 1; a 2; a 3) и b = (b 1; b 2; b 3) мож.ет быть найден по формуле
векторами
|
(3.4)
Замечание 5. Если ¯ a • ¯ b = 0, то из формулы (3.4) видно, что cos ω = 0. Поэтому равенство
a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0
называют условием перпендикулярности (ортогональности) векторов. Ср. со свойством 4 скалярного произведения.
Задача 20. Найти угол между векторами a ¯ = (1; 2; 5) и ¯ b = (- 1; 3; 0).
Решение. Воспользуемся формулой (3.4). Имеем
1-(- 1) + 2-3 + 5-0 5 1
cos ω
V1+ 4 +25 V1+ 9 + 0 V300 2V3
ω
arctg
2V3
Задача 21. Найти косинус угла ABC треугольника ABC, где A (2; - 3;0), B (3; 1; 2), C (1; - 2;4).
Решение. Угол ABC можно интерпретировать как угол между векторами a ¯ = BA = (2; - 3; 0) - (3; 1; 2) = (2 - 3; - 3 - 1; 0 - 2) = (- 1; - 4; - 2), b = BC = (1; - 2; 4) - (3; 1; 2) = (1 - 3; - 2 - 1; 4 - 2) = (- 2; - 3; 2).
Косинус угла меж;ду векторами найдем но формуле (3.4):
(¯ a,b) (- 1).(- 2) + (- 4).(- 3) + (- 2).2
cos ω =
¯ a ■ \b\ ^(- 1)2 + (- 4)2 + (- 2)2^(- 2)2 + (- 3)2 + 22
2 + 124 10 10
| V |
16 + 4V4 + 9 + 4 V21 • 17 V357
Задача 22. Являются ли векторы a ¯ = (2; 1; 3) и ¯ b = (- 3; 3; 1) перпендикулярными?
Решение. Воспользуемся замечанием 5 и найдем скалярное произведение:
(¯ a, b) = 2 • (- 3) + 1-3 + 3-1 = - 6 + 3 + 3 = 0.
Следовательно, векторы a ¯ и ¯ b нернендикулярпы. П
Задача 23. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) нерненди-кулярно вектору (A, B).
Решение. Ответ задается формулой
A (x - x 0 ) + B (y - y 0 ) = 0.
Действительно, это равенство означает нерпендикулярпость вектора (x - x 0 ,y - y 0 ),
лежащего на прямой, вектору (A, B). П
Глава 4
Арифметическое векторное пространство
4.1 Основные понятия
Если в трехмерном пространстве фиксированы декартовы координаты, его принято обозначать символом М.^. Аналогичным образом плоскость называют двумерным пространством и обозначают Е2. Одномерное пространство Е^ — это ось. В этом параграфе мы рассмотрим абстрактное n -мерпое пространство М n, обобщающее Е^ Е2 и Е^
Упорядоченный набор из n чисел (x i; x 2; ...; xn) называют n-мерным (арифметическим) вектором, или просто вектором, или точкой и обозначают x ¯. Арифметический вектор обычно записываются в виде столбца или строки. Таким образом, арифметический вектор мояспо представлять себе как матрицу-столбец или матрицу-строку. Числа xi, i = 1,2,...,n, называют компонентами или координатами вектора. Мпож;ество всех n -мерпых векторов называют n-мерным арифметическим пространством, и обозначают Е n.
Следующие определения совпадают с аналогичными определениями для матриц. Векторы x ¯ = (xi; x2; ...; xn) и y ¯ = (yi; y2; ...; yn) называют равными, если xi = yi, x 2 = y 2, ..., xn = yn- Суммой векторов x ¯ я y ¯ называют вектор x ¯ + y ¯ = (xi + y i; x 2 + y 2; ...; xn + yn)- Аналогично определяют разность. Произведением числа λ и вектора x ¯ называют вектор λx ¯ = x ¯ λ= (λxi; λx 2; ...; λxn). Ср. с теоремой 11.
Нулевым называют вектор ¯0 = (0; 0; ...; 0), имеющий пулевые координаты. Очевидны тождества x ¯ — x ¯ = ¯0 ,x ¯ + 0 = x ¯ — 0 = x ¯, λ ¯0 = ¯0, 0- x ¯ = ¯0.
Теорема 18. Операции слоукеиия и умноукения на число обладают свойствами:
1. x ¯ + y ¯ = y ¯ + x ¯ .
2. (x ¯ + y ¯ ) + z = x ¯ + (y ¯ + z).
3. Имеется такой вектор ¯0, что x ¯ + ¯0 = x ¯ для всех x ¯.
4. Для любого x ¯ существует такой вектор —x ¯, что x ¯ + (—x ¯ ) = ¯0.
5. 1x ¯ = x ¯ .
6. α ( βx ¯ ) = (αβ)x ¯ .
7. (α + β) x ¯ = αx ¯ + βx ¯ .
8. α ( x ¯ + y ¯ ) = αx ¯ + αy ¯ .
August 31, 2013 Курбатов В.Г. 37
Оказывается, подавляющее большинство свойств пространства М n является следствием только этих 8 свойств. Более того, имеется много других примеров мноясеств X, на которых определены операции слоясепия и умножения на число, для которых эти свойства выполняются. Например, мпоясество всех многочленов или множество всех функций с общей областью определения. Всякое такое множество X называют векторным (линейным) пространством, а эти 8 свойств — аксиомами липейпого пространства. Для любого линейного пространства имеет смысл вся дальнейшая теория.
4.2 Линейная независимость
Возьмем в линейном пространстве X систему из k векторов x ¯1, x ¯2, ..., x ¯ k- Всякий вектор вида
α1x ¯1 + α2x ¯ 2 + · · · + αkx ¯ k,
где α 1, α 2,.. ■, αk — числа, называют линейной комбинацией векторов x ¯ 1, x ¯ 2,..., x ¯ k-
Систему векторов называют линейно зависимой, если можно подобрать числа α1,
α 2,..., αk так, чтобы пе все опи были равны нулю и ири этом выполнялось равенство
α1x ¯1 + α2x ¯ 2 + ··· + αkx ¯ k = 0. (4.1)
Для системы, состоящей из двух геометрических векторов, линейная зависимость означает, что векторы коллипеарны. Для системы, состоящей из трех геометрических векторов, липейпая зависимость означает, что векторы леж;ат в одной или па параллельных плоскостях.
Систему векторов называют линейно независимой, если она не является линейно зависимой, т. е. если равенство (4.1) возможно только при условии, что α1 = α2 =
= αk = 0. Эти определения дословно переносятся на матрицы-строки и матрицы- ··· лбцы.
Теорема 19. Система векторов x ¯ 1, x ¯ 2,..., x ¯ k линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы моукно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.
Теорема 20. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк {столбцов).
Задача 24. Найти (максимальное) число линейно независимых среди следующих век-торов: (1, 0, 1), (2, 1, 3), (3 ,- 1, 2), (4, 2, 6).
|
| Из примера 14: ранг этой матрицы равен 2. Поэтому в ней два линейно независимых столбца. П |
Решение. Составим из этих векторов матрицу:
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
4.3 Размерность и базис
Максимальное число лииейио независимых векторов, которое моясио образовать из элементов линейного пространства X, называют размерностью этого пространства и обозначают символом dim X. Иными словами, число n является размерностью пространства X, если в нем имеется n линейно независимых векторов, но любые n + 1 вектор образуют линейно зависимую систему.
Базисом в линейном пространстве X размерности n называют любую систему e ¯1, e ¯2, ..., e ¯ n из n лииейио независимых векторов.
Теорема 21. Пусть e ¯1, e ¯2, ..., e ¯ n — базис линейного пространства X. Тогда всякий вектор x линейного пространства X моукно единственным образом представить в виде
x ¯ = α1e ¯1 + α 2 e ¯2 +-- + αne ¯ n, (4.2)
т. е. в виде линейной комбинации векторов e ¯1, e ¯2, ..., e ¯ n.
Формулу (4.2) называют разложением вектора x ¯ по базису e ¯1, e ¯2, ..., e ¯ n, а числа α 1, α 2,..., αn — коордннатами вектора x ¯ в этом базисе. Ср. с формулой (3.1).
Пример 25. Убедимся, что векторы
e ¯1 = (1;0;0; ...;0), e ¯2 = (0;1;0; ...;0),
e ¯ n = (0;0;0; ...;1)
образуют базис. Этот базис в Е n называют стандартным или каноническим. Действительно, для любого вектора x ¯ = (x 1 ,x 2 ,...,xn) имеем (ср. с формулой (3.1))
x ¯ = x 1 e ¯1 + x 2 e ¯2 + + xne ¯ n.
Рассмотрим систему из n векторов
i = 1, 2,
., n.
Составим матрицу из их координат:
/ e 11 e 12.
e 21 e 22.
en 1 en 2.
e 1 n e 2 n
n
Такую матрицу называют матрицей системы векторов, а ее определитель — определителем, системы векторов.
Теорема 22. Для того чтобы система из n векторов являлась базисом, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был отличен от пуля.
Доказательство. Доказательство вытекает из теоремы 20.
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
Задача 25. Показать, что векторы a ¯ = (1; 2; 3), ¯ b = (2; - 1; 0) и c ¯ = (3; 1; - 1) образуют базис.
Решение. Составим определитель системы и вычислим его:
∆ =
1 2 3 2 - 10 3 1 - 1
= 1 + 6 + 9 + 4 = 20.
Поскольку ∆ = 20 = 0, то в силу теоремы 22 векторы ¯ a, ¯ b, c ¯ образуют базис. П
4.4 Скалярное произведение в n -мерном нростран-стве
По аналогии с теоремой 14 введем в М" скалярное произведение двух векторов x ¯ = (x 1; x 2; ...; x „) и y ¯ = (y 1; y 2; ...; yп) по правилу
{x ¯, y ¯ ) = x1y1 + x2y2 + пyп.
Теорема 23. Скалярное произведение обладает свойствами:
{x ¯ ,y ¯ ) = {y ¯ ,x ¯ ),
{x ¯ ,y + z) = {x ¯ ,y ¯ ) + {x ¯ ,z),
{αx ¯ ,y ¯ ) = α{x ¯ ,y ¯ ),
{x ¯ ,x ¯ ) > 0,
{x ¯, x ¯ ) = 0, если x ¯ =0.
Большинство свойств скалярного произведения является следствием только этих 4 свойств. Более того, имеется много других примеров линейных пространств, на которых определено скалярное произведение, для которого эти 4 свойства выполняются. Например, множ;ество всех непрерывных на [ a, b ] функций со скалярным произведением (x, y) = a x(t)y(t)dt. Всякое линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называют евклидовым пространством, а эти 4 свойства — аксиомами скалярного произведения.
Длиной (нормой) вектора x ¯ евклидова пространства называют число
X
= л/{x ¯ ,x ¯ ).
в случае пространства М" это определение приобретает вид
\x\\ = x 21 + x 22 + ' ' ' + x
Косинусом угла между векторами называют число
cos ω =
{ x ¯ ,y ¯ )
\x ¯ \ ■ \y ¯ \
August 31, 2013 Курбатов В.Г. 40
4.5 Ортогональные векторы
Векторы x ¯ = (x1; x2; ...; x „) и y ¯ = (y 1; y 2; ...; yп) называют ортогональными, если
{x ¯ ,y ¯ ) = 0 .
Теорема 24. Любая система, состоящая из ненулевых попарно ортогональных векторов является линейно независимой.
Базис, состоящий из иоиарио ортогональных векторов называют ортогональным. Если векторы базиса дополнительно нормированы, то базис называют ортонорми-рованным.
Теорема 25. Всякий набор ненулевых иоиарио ортогональных векторов (в конечномерном евклидовом иространстве) моукно расгиирить до ортогонального базиса. В частности, ортогональные базисы существуют.
Теорема 26. Координаты вектора x ¯ в ортонормироваином базисе e ¯1, e ¯2, ..., e ¯„ совпадают с числами
Глава 5
Линейные операторы
5.1 Понятие линейного оператора
Рассмотрим два линейных пространства X и Y. Оператором, действующим из X в Y, называют любое правило A, которое каждому ж X сопоставляет y ¯ ∈ Y. Вектор y ¯ = Ax ¯ называют образом вектора x ¯, а вектор x ¯ ∈ рообразом вектора y ¯.
Оператор называют линейным, если выполнены два свойства:
A (x ¯ 1 + x ¯ 2) = Ax1 + Ax ¯ 2, A (αx ¯ ) = αAx ¯.
Основной ПРИМЕР. Пусть X = Y = Е n. Возьмем произвольную матрицу:
' a 11 a 12 ... a1n \
a 21 a 22... a 2 n
A=,
\an 1 an 2... ann
Очевидно, привило
y ¯ = Ax ¯,
где y ¯ я x ¯ записаны в виде столбцов, определяет линейный оператор. Отметим, что
| E |
n i =1 aijxj.
5.2 Матрица линейного оператора
в дальнейшем будем считать, что X = Y. Рассмотрим в X базис e ¯1, e ¯2,. Разлож;им векторы Ae ¯1, Ae ¯ 2,..., Ae ¯ n по базису:
e ¯.
Ae ¯ j = a1je ¯1 + a 2 je ¯2 + ... anje ¯ n = 2_j
i =1
aije ¯ i.
(5.1)
A =
a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n
an 1 an 2
n
August 31, 2013 Курбатов В.Г.
Возьмем произвольный вектор x ¯ и разлоясим его по базису:
x ¯ = x1e ¯1 + x 2 e ¯2 + ------ + xne ¯ n = ^
j =1
xje ¯ j.
Применим к этому равенству оператор A и воспользуемся соотношением (5.1):
n n
y ¯ = Ax ¯ = A / x je ¯ j = У x j Ae ¯ i
j =1
n n
= ^ ^ xj у ^ aije ¯ i = ^ ^ / ^ aijxje ¯ i
j= 1 i= 1 j= 1 i= 1
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 155 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
