Інтерполяція сплайнами

Поліноміальна інтерполяція не завжди дає задовільні результати. Зокрема, при представлені поліномами резонансних кривих коливальних систем велика похибка виникає на кінцях цих кривих. Не дивлячись на виконанні умов у вузлах, інтерполяційна функція може мати значні відхилення від функції, яку вона апроксимує між вузлами. При цьому підвищення степеня інтерполяційного полінома не зменшує, а збільшує похибку. Розв’язання цієї проблеми можна здійснити за допомогою сплайни-інтерполяції (від англійського слова spline – рейка, лінійка).

Розглянемо найбільш поширений варіант інтерполяції – інтерполяції кубічними сплайнами. Користуючись законами пружності, можна встановити, що недеформована лінійка між сусідніми вузлами проходить по лінії, яка задовольняє диференціальному рівнянню

(30)

Функцію будемо використовувати для інтерполяції функції , яка визначена на відрізку , а у вузлах задана значеннями .

Кубічним сплайном, який інтерполює на відрізку задану функції , називають функцію

(31)

яка задовольняє наступним умовам:

1) – умова інтерполяції у вузлах сплайна;

2) функція два рази неперервно диференційовна на відрізку ;

3) на кінцях відрізка функція повинна задовольняти умовам , (крайовим умовам).

Для побудови сплайна потрібно знайти коефіцієнтів .

Із визначення сплайна одержуємо співвідношення вигляду:

; . (32)

Із умов гладкого стикування сусідніх участків сплайна (неперервність функції, її першої та другої похідних) одержимо ще умови:

. (33)

Із умов на кінцях відрізка одержимо ще 2 умови:

. (34)

Таким чином, маємо співвідношень для знаходження коефіцієнтів сплайна.

Із співвідношення (31) знайдемо співвідношення для першої та другої похідних функції :

(35)

Підставляючи вирази функції (31) та її похідних (35) в співвідношення (32)-(34) і приймаючи до уваги співвідношення

, (36)

одержимо наступну систему рівнянь:

(37)

, (38)

(39)

(39)

(39)

(40)

(41)

Таким чином задача інтерполяції звелась до розв’язання системи (37) – (41). Із рівняння (38) випливає, що всі коефіцієнти . Підставивши співвідношення (37), (38) в (39) і використовуючи фіктивний коефіцієнт , одержимо співвідношення між і :

.

Звідси знаходимо коефіцієнти за формулою

. (42)

Із (39) і (40) виразимо через (з врахування коефіцієнта )

. (43)

Підставивши (43) в (42), одержимо

. (44)

Введемо позначення

, (45)

після чого співвідношення (42) набуде вигляду:

. (46)

Підставивши (46) і (43) в співвідношення (39), одержимо систему відносно :

(47)

. (48)

Систему (47), (48) можна розв’язати методом прогонки, який в даному випадку зводиться до знаходження прогоночних коефіцієнтів за формулами прямої прогонки:

(49)

(50)

після чого, коефіцієнти знаходяться за формулами оберненої прогонки:

(51)

Після знаходження коефіцієнтів за формулами (51) знаходимо коефіцієнти і за формулами (46) і (43).

Таким чином алгоритм обчислення коефіцієнтів інтерполяційного сплайна складається з наступних кроків:

Крок 1. Обчислюємо (або задаємо) масиви значень , ;

Крок 2. Обчислюємо масиви значень , за формулами (36), (45);

Крок 3. Обчислюємо масиви значень прогоночних коефіцієнтів , за формулами (49), (50);

Крок 4. Обчислюємо масив значень коефіцієнтів за формулою (44);

Крок 5. Обчислюємо масив значень коефіцієнтів за формулою (43).

Після цього можна користуватись формулою (31).