Свойства бинарных операций

Ассоциативной бинарной операцией называется операция, если она обладает свойством . Ассоциативность

' позволяет записывать последовательность таких операций без скобок: f . Ср. в арифметике формулы. Примером

U ассоциативных операций служат объединение и пересечение множеств. '• Операция деления не ассоциативна: (24:3):4 = 2, тогда как 24:(3:4) = 24: '. 3/4 = 32. Также не ассоциативно вычитание. Проверьте это. Поэтому для I бесскобочной записи 20-5-7 принято специальное соглашение: она л означает (20-5)-7, но не 20-(5-7).

Г Коммутативной бинарной операцией называется операция,

,. обладающая свойством перестановочности:

Примеры. Сложение и умножение чисел, сложение и скалярное умножение векторов, сложение поворотов плоскости вокруг начала координат, вычисление частных производных функции нескольких переменных (напомним равенство смешанных частных производных: второго порядка . Примером некоммутативной

операции являются вычитание и деление чисел, умножение квадратных матриц.

Ассоциативными и коммутативными являются операции max(X, Y) и min(X, Y) на множестве чисел; поэтому можно употреблять записи ггах(X, Y, Z, Т), min(А, В, С).

Для описанных в п. 1.2. функциональных элементов, реализующих некоммутативные операции, необходимо правильное присоединение подсхем-аргументов к входам; различный порядок присоединения реализует разные функции. Обычно считается, что входы элемента упорядочены слева направо, и у 2-местного элемента левый вход соответствует первой переменной, правый - второй. Так, для операции вычитания оба варианта присоединения показаны на рис.7.

Дистрибутивность бинарной операции выражает распределительный закон, подобный арифметическому соотношению (а + Ь)с = ас + bc.

Дистрибутивность слева бинарной операции относительно бинарной операции - свойство, состоящее в том, что

£

Свойством дистрибутивности в арифметике обладает умножение относительно сложения, но не сложение относительно умножения.

Дистрибутивность справа бинарной операции относительно бинарной операции -свойство, состоящее в том, что

Дистрибутивность операций позволяет раскрывать скобки в формулах.

Вернемся к перечню свойств операций над множествами, приведенному в п. 1.1. Можно видеть, что свойства 1-2 выражают коммутативность, а свойства 3-4 - ассоциативность операций свойства 5-6 - взаимную дистрибутивность. Свойства 1-10 относятся только к операциям объединения и пересечения. Законы де Моргана 11, 12 связывают все три операции. Свойства 13-20 связаны с операциями над пустым множеством и универсальным множеством

U.