Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Алгоритм методу вилучення Гаусса можна компактно записати в матричних позначеннях. Він відповідає розкладанню матриці А на добуток більш простих матриць. Є дві модифікації алгоритму матричного вилучення. Одна з них полягає в зведені початкової матриці до трикутної, на діагоналі у якої стоять одиниці (цей випадок розглянуто вище), а друга, коли на діагоналі стоять провідні елементи.
Спочатку для наочності розглянемо систему , що складається з трьох рівнянь:
(19)
Вилучення невідомої з двох останніх рівнянь системи (19) здійснюється виконанням таких операцій:
· ділення першого рівняння на елемент ;
· віднімання перетвореного першого рівняння, помноженого на , від рівнянь .
Перша операція еквівалентна множенню системи рівнянь зліва на діагональну матрицю
;
друга операція еквівалентна множенню системи рівнянь зліва на матрицю
.
Звідси випливає, що виключення рівносильно множенню системи зліва на матрицю, яку називають елементарною нижньою трикутною матрицею. Дві розглянуті операції можна об’єднати, ввівши до розгляду матрицю , яка має вигляд
. (20)
Перетворимо за допомогою матриці початкову систему, тобто запишемо її у вигляді . У результаті отримаємо систему
. (21)
Перепишемо її у вигляді
(22)
і виконаємо другий крок методу Гаусса, тобто вилучимо невідому останнього рівняння. Це виконується множенням системи (16) зліва на елементарну матрицю :
. (23)
У результаті отримаємо систему рівнянь
. (24)
Таким чином, після другого кроку вилучення приходимо до системи , яку в спрощеному вигляді можна записати так:
. (25)
Нарешті, помноживши (19) на матрицю
,
одержимо систему у якої матриця є верхньою трикутною матрицею з одиничною головною діагоналлю. У розгорнутому вигляді ця система має вигляд
. (26)
Зауважимо, що для розв’язання системи (26) достатньо виконати зворотний хід методу Гаусса, який описаний вище.
Розглянемо матрицю . З цієї рівності можна виразити матрицю А у вигляді
, (27)
де – нижня трикутна матриця. Отже, – розклад матриці А можна отримати за допомогою елементарних трикутних матриць у такий спосіб: спочатку будують матриці , , і обчислюють матрицю , а потім знаходять матрицю . Відзначимо, обернені матриці мають простий вигляд:
, , . (28)
При цьому матриця є нижньою трикутною матрицею:
, (29)
на головній діагоналі якої розташовані ведучі елементи методу виключення.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 606 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!