Аффинная система координат в пространстве

Аффинная система координат в пространстве определяется координатным репером – четыре точки, не лежащие в одной плоскости, началом координат – точка и осями координат (рисунок 3.6):

Рисунок 3.6– Аффинная система координат в пространстве

Аффинными координатами произвольной точки пространства называют три отношения:

, , .

Аффинными преобразованиями пространства называют все преобразования, которые в какой-либо (хотя бы в одной) аффинной системе координат записываются линейными уравнениями:

(3.11)

для которых выполняется условие

.

Преобразования (3.11) переводят:

– точку в точку , т.е. ;

– плоскость

в плоскость

;

– параллельные плоскости

и

в параллельные плоскости

и ,

где

, , .

Аналогично аффинные преобразования (3.8) переводят прямую линию в прямую, параллельные прямые в параллельные; сохраняется отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых.

Для данного трехмерного случая имеет место основная теорема теории аффинных преобразований в пространстве.

Теорема: существует одно и только одно аффинное преобразование пространства, переводящие данные четыре точки , не лежащие в одной плоскости, в четыре другие точки , также не лежащие в одной плоскости.

Следует отметить, что выражения (3.11) можно рассматривать и как формулы преобразования координат, аналогично тому, как это представлено для плоскости в подразд. 3.3.

С другими свойствами аффинных преобразований в пространстве можно познакомиться в изданиях [8, 11, 12, 15]. В частности одно отметим. Если аффинное преобразование пространства переводит какую-либо замкнутую поверхность в некоторую соответственную поверхность , то можно исследовать это преобразование одной поверхности в другую при помощи параллельных хорд, проведенных в первой поверхности по определенному направлению. Таким хордам будут соответствовать во второй поверхности также параллельные хорд, длины которых изменены в одном и том же отношении. Поэтому аффинное преобразование, переводящее поверхность в соответственную ей поверхность , можно охарактеризовать как сжатие или растяжение в определенном направлении [11].

Вопросы и упражнения к третьему разделу

1 В вопросах аффинной геометрии все ли аффинные системы координат являются равноправными?

2 Какие аналитические выражения имеют аффинные координаты точки для плоскости и пространства?

3 Определить координаты неподвижной двойной точки, если аффинное преобразование задано выражениями

а) , ;

б) , .

4 Записать формулы обратного преобразования, если аффинные преобразования имеют следующий вид:

а) , ;

б) , .

5 Почему в формулах аффинных преобразований принимается условие

?

6 Записать аналитический вид аффинных преобразований пространства.

7 Чем отличается, декартова система координат от аффинной системы?

8 Справедливо ли утверждение: «Всякое новое аффинное преобразование плоскости переводит аффинную систему координат в аффинную же»?

9 Какая связь наблюдается между преобразованием плоскости и преобразованием координат?