Системы счисления. 7 6 5 4 3 2 1 0

Учебный материал для подготовки:

В обиходе широко используется десятичная арифметика, а в вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Система счисления – совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. В десятичной системе счисления для записи чисел используют цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления – это система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Пример: римская система счисления.

VI – шесть.

IV - четыре.

Позиционная система счисления - это система, в которой значение цифры определяется ее положением в числе, или один и тот же знак принимает различные значения.

Пример:

222 – двести двадцать два в десятичной системе счисления.

Любая позиционная система счисления характеризуется оcнованием.

Основание позиционной системы счисления – количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе.

Пример:

0,1 – двоичная система счисления(основание два);

0,1,2,3,4,5,6,7 – восьмеричная система счисления(основание

восемь);

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F – шестнадцатеричная система

счисления(основание шестнадцать).

Каждое целое число в любой позиционной системе счисления записывается в соответствии со следующей формулой:

A = ,где a_i - цифра в данной системе счисления

h_i – разряд числа, h_i = pⁱ;

p - основание системы счисления;

n - количество цифр в записи числа(или количество степеней

основания системы счисления, участвующих в записи числа)

n-1 есть старшая степень основания системы счисления для записи

числа

Пример

2 1 0

358₁₀ = 3 × 10 ² + 5 × 10 ¹ + 8 × 10 ⁰

а₂а₁а₀

3 2 1 0

7734₈ = 7 × 8 ³ + 7 × 8 ² + 3 × 8 ¹ + 4 × 8 ⁰

а₃а₂а₁а₀

4 3 2 1 0

10110₂ = 1 × 2 ⁴ + 0 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰

а₄а₃а₂а₁а₀

Здесь над записью числа для каждой его цифры указана соответствующая степень основания системы счисления.

Перевод целого положительного числа из десятичной системы в другую систему счисления осуществляется путем последовательного выделения в числе степеней основания системы счисления, в которую необходимо перевести число, начиная с наибольшей степени.

Таким образом, запись числа в новой системе счисления будет представлять собой запись коэффициентов при всех степенях основания системы, составляющих это число. Самая правая цифра имеет весовое значение p⁰, следующая цифра влево- p¹, следующая – p² и так далее, где p - основание системы счисления.

Пример:

перевести число 239 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

239₁₀ -?₂

239₁₀ = 128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1 =

= 1 × 2 ⁷ + 1 × 2 ⁶ + 1 × 2 ⁵ + 0 × 2 ⁴ + 1 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 1 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰

7 6 5 4 3 2 1 0

Ответ: 239₁₀ = 1 1 1 0 1 1 1 1₂

Пример:

перевести число 239 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

239₁₀ -?₈

239₁₀ = 192 + 40 + 7 = 3 × 8 ² + 5 × 8 ¹ + 7 × 8 ⁰

2 1 0

Ответ: 239₁₀ = 3 5 7₈

Пример:

перевести число 239 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

239₁₀ -?₁₆

239₁₀ = 224 + 15 = 14 × 16 ¹ + 15 × 16 ⁰

1 0

Ответ: 239₁₀ = E F₁₆

Шестнадцатеричная система включает в себя “цифры” от 0 до F. При этом 10 ₁₀ = A, 11 ₁₀ = B, 12 ₁₀ = C, 13 ₁₀ = D, 14 ₁₀ = E, 15 ₁₀ = F.

Ниже, в таблице 2.1 приведены коды первых шестнадцати положительных чисел в различных системах счисления.

Таблица 2.1

Десятичная с.c.	Двоичная с.c.	Восьмеричная с.с.	Шестнадцатеричная c.с.
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Перекодировка из одной системы счисления в другую выполняется быстро, если основания этих систем счисления являются степенями числа 2.

Пример:

перевести число 11101111₂ из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

1 1 1 0 1 1 1 1₂ -?₈ 1 1 1 0 1 1 1 1₂ -?₁₆

Разобъем двоичное число справа налево на трехбитовые и четырехбитовые цепочки (2³ - восемь, 2⁴ - шестнадцать).

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

E F ₁₆ 3 5 7₈

Так же легко будет осуществить обратный перевод чисел. Для этого

символы восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления представляются в виде двоичных чисел (см. табл.) и записываются по порядку.

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления аналогичны.

В частности, для двоичной системы счисления, сложение выполняется следующим образом

₊ 0 ₊0 ₊1 ₊ 1

0 1 0 1

____ ____ ____ ______

0 1 1 10

Примеры:

₊1 1 0 0 0 1 (49₁₀) ₊ 1 1 0 1 0 1 (53₁₀)

1 0 1 1 1 0 (46₁₀) 0 1 0 1 1 0 1 (45₁₀)

_________________ ____________________

0 1 0 1 1 1 1 1 (95₁₀) 0 1 1 0 0 0 1 0 (98₁₀)

Представленные выше двоичные числа имеют положительные значения, что обозначается нулевым значением самого левого (старшего) разряда. Отрицательные двоичные числа содержат единичный бит в старшем разряде и выражаются двоичным дополнением. Таким образом, для представления отрицательного двоичного числа необходимо получить двоичный код его абсолютной величины, инвертировать все биты этого кода и прибавить 1.

Пример:

0 1 0 0 0 0 0 1 (+65₁₀ - двоичный код абсолютной

величины)

1 0 1 1 1 1 1 0 (инверсия числа, или обратный код)

плюс 1 1 0 1 1 1 1 1 1 (-65₁₀ в дополнительном коде)

Если вычисления были правильными, сложение дополнительного кода отрицательного числа с двоичным кодом абсолютной величины этого числа должно давать нули во всех значащих разрядах.

Для последнего примера: +65 и - 65. Сумма должна составить ноль.

0 1 0 0 0 0 0 1 (+65₁₀)

1 0 1 1 1 1 1 1 (-65₁₀)

________________

(1) 0 0 0 0 0 0 0 0

Все восемь бит имеют нулевое значение.

Двоичное вычитание выполяется просто: вычитаемое переводится в дополнительный код и два числа складываются.

Пример: найти разность чисел 65 и 42.

42₁₀ = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ +1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 1 0 1 0 1 0₂

0 0 1 0 1 0 1 0 (+42)

1 1 0 1 0 1 0 1 (обратный код, или инверсия числа)

(плюс1) 1 1 0 1 0 1 1 0 (-42)

(код ₊65) ₊ 0 1 0 0 0 0 0 1

(код - 42) 1 1 0 1 0 1 1 0

________________

(23) (1) 0 0 0 1 0 1 1 1

Задание1

Значения a, b, c, d определить по таблице А.1 приложения А в соответствии с вариантом.

текст задачи	вычисления
Перевести число а из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную системы счисления
Перевести числа b, c, d в десятичную систему счисления.
Числа с и b перевести в двоичную систему счисления.
Найти сумму чисел a и b в двоичной системе счисления.
Записать число –d в двоичной системе счисления.
Найти разность чисел c и d в двоичной системе счисления.

Примечание: проверку результатов можно осуществить путем перевода всех чисел в десятичную систему счисления.

Задание2

Ответить на тестовые вопросы