Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим некоторую функцию , определенную на интервале , и пусть . Допустим также, что функция имеет в окрестности точки производные любого порядка. Поставим функции в соответствие степенной ряд, (окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку ),
(42)
0! = 1, n! = 1×2×3×4× ××× × n, n Î N.
Такой ряд называется рядом Тейлора функции в точке .
Если , то ряд Тейлор имеет вид:
(43)
и называется рядом Маклорена.
Радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю или отличен от нуля. Причем, в последнем случае сумма ряда Тейлора может не совпадать с функцией . Если ряд Тейлора сходится к функции , для которой он составлен, то говорят, что разложима в ряд Тейлора в окрестности точки .
Заметим, что частичные суммы ряда Тейлора
представляют собой многочлены Тейлора функции в точке . Если ряд сходится к функции , справедливо равенство
где - многочлен Тейлора, - остаточный член формулы Тейлора.
Напомним, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в одном из следующих видов:
- форма Лагранжа,
- форма Коши.
Имеет место необходимый и достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.
Теорема 1. Для того, чтобы существовало разложение в ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой в окрестности точки функции необходимо и достаточно, чтобы
где - остаточный член формулы Тейлора,
Теорема 2. (Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора). Если для все производные функции , ограничены одной и той же константой М, то ряд Тейлора сходится к функции в интервале
Теорема 3. Если степенной ряд по степеням сходится к функции в окрестности точки , то он является рядом Тейлора функции в окрестности этой точки.
Приведем примеры разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций:
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 458 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!