Порядок выполнения лабораторной работы. 1.1Расстояния в плане от подземных сетей до инженерных сооружений

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Ознакомиться с методическими указаниями.

2. Для заданной СМО выбрать критерий оценки эффективности и
исследовать эффективность в зависимости от параметров системы.

3. Найти оптимальные параметры СМО по выбранному критерию.

4. Оформить отчет, в котором привести описание исследуемой
СМО, обоснование выбора критерия эффективности СМО, зависимость
эффективности СМО от значений параметров, параметры оптимальной
СМО, выводы.

5. Ответить устно на контрольные вопросы.

Основные положения

При организации СМО важно выбрать ее параметры так, чтобы наи­лучшим образом решать стоящие перед ней задачи. Качество решения в общем случае, как известно, определяется с помощью векторного критерия эффективностей, компонентами которого являются частные показатели функционирования СМО.

Решение задачи поиска рациональных параметров СМО на основе векторного критерия требует специальных подходов, и здесь мы их рассматривать не будем.

Весьма распространенным способом оптимизации параметров СМО, допускающим применение регулярных методов оптимизации, является сведение векторного критерия к скалярному (так называемая свертка векторного критерия). В большом числе случаев такой подход явля­ется вполне естественным и скалярный критерий с выбранной точки зрения полностью отражает качество функционирования СМО.

Рассмотрим функционал:

(4.1)

где - вектор параметров системы; - вектор, характеризующий

состояние внешней среды; - вектор частных показателей функционирования СМО.

W называют целевой функцией, скалярным критерием эффективно­сти, интегральным показателем эффективности СМО и т.п.

При записи (4.1) сделано предположение, что в процессе функ­ционирования СМО никакие управления не вводятся и результаты функ­ционирования полностью определяются параметрами СМО и состоянием внешней среды.

Применительно к марковским СМО, рассматриваемым в курсе, век­торы и получают очень простой вид:

(4.2)

где i - индекс приоритета.

С учетом (4.2) можно переписать (4.1) в виде

(4.3)

где F имеет смысл оператора свертывания частных показателей эф­фективности в интегральный.

Задачу оптимизации параметров СМО можно сформулировать следу­ющим образом:

где D_i - некоторое i-е дисциплинирующее условие, определяемое

спецификой задачи.

В качестве примера рассмотрим оптимизацию параметров парикмахерской.

Здесь в качестве интегрального критерия разумно испы­тывать величину прибыли S, которая определяется, с одной сторо­ны, доходами от обслуживания клиентов S_дох и расходами S_расх на содержание парикмахерской, с другой стороны. Здесь W=S, U₁=S_дох, U₂=S_расх, оператор F имеет смысл выполнения работы.

Частные показатели задаются функциями

где - средняя плата за обслуживание одного клиента; P_отк - вероятность отказа в обслуживании; - плата за содержание помещения, зависящая от числа сотрудников и допустимой длины очереди (монотонно возрастающая функция); - заработная плата, завися­щая от квалификации парикмахеров и монотонно возрастающая. Данная задача (4.4) получает вид:

Исследование можно сделать интересней, если ввести зависи­мость l(P_отк) и прогрессивное обложение налогом S_нал=S(W).

Стоимостной критерий широко распространен, но он не является универсальным. Например, если исследовать с помощью аппарата ТМО систему ПВО, то стоимость ее может выступать лишь в качестве ограничения, а показателем функционирования будет естественно принять, скажем, математическое ожидание числа проникших самолетов против­ника, или (в терминах TWO) вероятность отказа в обслуживании:

где t - время пребывания цели в зоне ПВО, зависящее от глубины зоны ответственности.

Варианты заданий

I. Оптимизировать число линий связи и исследовать время оку­паемости от интенсивности поступающих вызовов l. При расчетах по­лагать:

- среднее время t₁ разговора - в единицах времени;

- обслуживание одного разговора приносит среднюю прибыль в S_прб условных единиц;

- эксплуатация одного работающего канала обходится в S_а ус­ловных единиц в единицу времени;

- стоимость S_пр простоя одного канала - условная в единицу времени;

- создание одного канала требует расхода S_созд единиц.

2. Исследовать целесообразность введения второй, третьей и
четвертой технологических линий ремонта сельскохозяйственных ма­шин (с учетом времени окупаемости этих линий) в условиях следую­щей задачи.

Станция текущего ремонта сельскохозяйственной техники имеет одно помещение, в котором может ремонтироваться только одна маши­на (одна технологическая линия). Во дворе станции имеется площад­ка, где одновременно могут находиться, ожидая ремонта, не более mмашин. Статистика времени ремонта в этой мастерской показала, что оно распределено по эксплуатационному закону со средним значе­нием суток. При анализе потока поступающей на ремонт техники было установлено, что этот поток является простейшим с парамет­ром l машин в сутки. Если площадка для ожидания занята, то маши­ны поступают на другую станцию.

Стоимость оборудования для новой технологической линии сос­тавляет S ₀ тысяч рублей, содержание обслуживающего персонала на одной линии - S_сод рублей в месяц, стоимость простоя сельско­хозяйственной машины – S_пр рублей в сутки. Ремонт одной машины приносит станции доход S_дох руб.

3. Исследовать зависимость оптимального числа обслуживающих рабочих от их квалификации.

Цех имеет n станков-автоматов. Суточный простой одного станка обходится предприятию в S_пр руб. Среднее время, необходимое для наладки одного станка, может в зависимости от квалификации рабочего принимать значения:

Зарплата рабочих в зависимости от их квалификации составляет соответственно S рублей в месяц.

Интенсивность отказов станков l.

4. Исследовать с точки зрения минимизации простоя судов 3 ва­рианта проекта морского порта с возможными грузооборотами 2, 3 и

4 млн. тонн в год, если суда, прибывающие в порт, имеют грузоподъемность до 20 тыс. т. Статистика показала, что поступающие для разгрузки в порт суда образуют поток, близкий к пуассоновскому, с параметром , где q - грузооборот порта, а G - средняя грузоподъемность принимаемых портом судов. Длительность погрузочно—разгрузочных работ принять распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием , где Р - пропускная способность одного причала; t_всп - время на вспомога­тельные операции с судном у причала.

5. Аэродром имеет две посадочные полосы. Время занятости каждой из них садящимся самолетом распределено экспоненциально со средним значением (оцените допустимость этого предположения).

Поток самолетов, заходящих на посадку, - простейший с интен­сивностью l. Если обе полосы заняты, то самолет ждет в воздухе t мин, после чего уходит на запасной аэродром.

За каждый отказ в посадке аэропорт платит штраф в S₁ единицу. Строительство новой посадочной полосы стоит S₂ усл. единиц. За какой срок она окупается?

6. Решить задачу 5 в предположений, что время ожидания по­садки в воздухе распределено экспоненциально со средним значе­нием мин и самолет уходит на запасной аэродром, если кроме него в воздухе уже ждут посадки m самолетов.

7. Грузовые вагоны поступают под разгрузку, образуя простейший поток интенсивностью l. Время обработки одного вагона брига­дой грузчиков распределено экспоненциально со средним значением мин. Что выгоднее: а) интенсифицировать разгрузку вдвое, до­ведя среднее время до мин или б) добавить еще одну бригаду грузчиков? Сравнить варианты а) и б):

по времени простоя вагонов;

по числу простаивающих вагонов;

по времени простоя грузчиков.

8. Полагая, что I ч простоя вагона стоит S₁, руб., а I ч про­стоя бригады грузчиков - S₂ руб., дать решение задачи 7 в функции S₁ / S₂.

9. n рабочих обслуживают mстанков, каждый из которых ха­рактеризуется простейшим потоком неисправностей с интенсивностью l. Время устранения неисправностей распределено экспоненциально со средним значением .

Выбрать критерий эффективности СМО и проанализировать струк­туру, сравнивая со случаем, когда за каждым рабочим закреплены два определенных станка.

10. Телефонные вызовы заданного абонента составляют простей­ший поток с параметром l. Длительность каждого разговора распре­делена экспоненциально с параметром n. Число неисправностей ли­нии подчинено распределению Пуассона с параметром а. Время уст­ранения неисправности имеет экспоненциальное распределение со сред­ним значением t.

1) какова вероятность того, что линией нельзя воспользоваться из-за занятости или неисправности?

2)какова вероятность, что возникшая неисправность оборвет телефонный разговор?

3)какова вероятность, что начатый телефонный разговор не прервется поломкой на линии?

4)полагая, что стоимость ремонта зависит от его продолжительности , а доход от каждого обслуженного вызова равен S ₀, определить расходы по ремонту линии.

Контрольные вопросы

1.Какие показатели эффективности СМО Вы знаете?

2.Что значит "оптимизировать СМО"?

3.Какие показатели должны быть учтены в обобщенном критерии экономической эффективности (на примере различных типов СМО)?

ЛИТЕРАТУРА

1. Б о м а с В.В., Б у л ы г и н B.C. Элементы теории марковских процессов и ее технические приложения: Учебное пособие. -
М.: МАИ. I960.

2.Вентцель E.G. Исследование операций. - М.: Наука,
1989.

3.Дунин-Барковский И.В., Смирнов Н.В.
Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Гостехтеориздат, 1955.