Матрицаларға қолданылатын амалдар

Матрицаларға қолданылатын амалдар

Анықтама. Матрица дегеніміз не m қатардан және n бағаннан тұратын тік бұрышты кесте түрінде орналасқан сандар жиынтығы. Мысалы (m x n) өлшемді А матрицасы мына түрде жазылады:

А=

мұнда саны матрицаның элементтері; i, j индекстері, осы элемент түрған сәйкесінше қатар және бағана нөмірлерін көрсетеді, ал m және n сандары матрицаның қатар және бағанның жалпы санын көрсетеді.

Егер m = n болса, онда матрица А квадратты матрица деп аталады. Квадратты матрицаның жазылуы:

А=

Қатар жолының нөмірлерімен баған жолының нөмірлері бірдей болып келген элементтерінің орналасуын матрицаның бас диагоналы деп, ал қалған элементтері диагональды емес деп аталады.

Квадраттық матрицаның барлық диагональды емес элементтері нөлге тең болса, онда ол матрица диагональды деп аталады, және келесі түрде жазылады:

А= (1.2)

Егер матрицаның барлық диагональды элементтері бірге тең болса, онда диагональды матрица бірлік матрица деп аталады, және сәйкесінше символымен белгіленеді

= немесе (1

мұндағы n бірлік матрицаның реті.

Матрицаны санға көбейту. А матрицасын λ санына көбейтіп сол матрицаның әрбір элементтерін осы санға көбейтіп жазғанға тең болады да, былай В =λ А жазылады, немесе , мұндағы i =1,2,, m; j =1,2,… n.

1-мысал. А матрицасын 5 санына көбейтіңіз, егерА=

Шешуі. 5 А= 5 = =

А матрицасының әрбір элементі 5 санына жеке-жеке көбейтіледі.

Матрицаларды қосу және алу. Бірдей өлшемді матрицаларды қосып алғанда осы матрицалардың сәйкес элементтері өз ара қосылып немесе алынады да үшінші матрицаны құрайды. Өлшемі m x n болатын А және В матрицалардың қосындысы деп С=А+В аталады сәйкес элементтерінің қосындысы былай жазылады, мұндағы i= 1,2,…m;

2-мысал. Егер А= , B= болса, онда А және В матрицаларының қосындысын және айырмасын тап.

Шешуі. 1) Матрицалардың А+В қосындысын табамыз:

А+В=

2) Енді А-В матрицалардың айырмасын табайық

А-В=

Матрицаларды өзара көбейту үшін біріншіматрицаның баған саны екінші матрицаның жолы санына тең болуы керек. Егер екі А және В матрицасының көбейтіндісі С матрицасы болса онда элементін табу үшін А матрицасының i -ші қатарымен В матрицасының j- ші бағанының сәйкес элементтерінің көбейтінділерінің қосындысын табу керек.

3-мысал. Егер А= берілсе, онда АВ- ны табайық.

Шешуі. А В=

4- мысал. A,B,C матрицаларының көбейтіндісін тап, егер

А= В= , С= .

Шешуі. АВ өлшемін табалық; А матрицасының өлшемі , В матрицасының өлшемі , нәтижесінде өлшемі матрицасын аламыз.

А В= =

= =

Енді алынған матрицаны С матрицасына көбейтеміз, ал С матрицасының өлшемі – нәтижесінде өлшемді матрицасын аламыз.

АВС= = =

=

5. Матрицаны тасымалдау(аудару). А матрицасының қатарын бағана ретінде өзгертіп жазу марицаның тасымалдануы деп аталады да, былай жазылады . Сонда матрицасы А матрицсының тасымалданған матрицасы деп аталады. Егер А матрицасы m x n өлшемді болса, онда тасымалданған матрицаның өлшемі n x m болады.

5-мысал. марицасы берілген матрицасын жаз.

Шешуі: А матрицасының жолының элементтерін бағана түрінде жазу арқылы тасымалданған матрицасын аламыз.

=

6-мысал. Матрицалар берілген

а) матрицаларын табу керек.

в)АВ,ВС матрицаларын көбейтуге бола ма? Көбейтуге болмайтын болса, түсіндір;көбейтуге болатын болса есепте.

Шешуі.
а) 3С үшін С матрицсының әрбір элементін 3 cанына көбейтеміз, дәл солай 2Д матрицасында табамыз.

б) Матрицалардың өлшемдері = . сондықтан А матрицасын В матрицасына көбейтуге болмайды. Ал В матрицасының бағана саны С матрицасының жол санына тең = , сондықтан көбейтуге болады. Көбейтінді матрицаның өлшемі болады.

ВС матрицалардың көбейтіндісі Ғ матрицасы болса, В матрицасының жолының элементтерін С матрицасының сәйкес элементтеріне көбейтіп қосамыз. Сонда,

Яғни,