Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения -ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.

Теорема 7. Решения уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от 0 хотя бы в одной точке .

Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда на . Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и 6.

Теорема 8. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений.

Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмем произвольную точку и поставим различных задач Коши: .

По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим - решение 1-й задачи, - решение 2-й задачи, …, - решение -ной задачи. Мы получили - решения уравнения (2). Найдем для этих функций: . Следовательно, по теореме 7, функции образуют искомую фундаментальную систему решений уравнения (2).

Теорема 9. Пусть - фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решения этого уравнения существуют постоянные такие, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных : (11). Определитель этой системы не равен 0, т.к. - фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение . Рассмотрим теперь функцию . По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядка включительно в точке совпадают со значениями и ее последовательных производных в точке . По теореме 1 о единственности решения задачи Коши , .

Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства.