Приклад 5.2

Розглянемо часову діаграму роботи багатоканальної СМО з 2 пристроями для обслуговування і буфер ємністю 2. Задано час проходження вимоги і час, коли вона залишила систему. Час спостереження = 55хв.

Рисунок 5.6 - Часова діаграма роботи багатоканальної СМО

На основі цієї діаграми розрахуємо деякі характеристики ефективності роботи СМО:

1. Імовірність обслуговування вимоги:

-загальна кількість вимог

- кількість обсл.

1. Пропускна здатність СМО

вимоги/хв.

3. Імовірність відмови в обслуговуванні

4 Імовірність того, що вимога застане 2 пристрої вільними:

5 Імовірність того, що обслуговуванням зайнятий тільки один пристрій:

6 Імовірність того, що обслуговуванням зайняті 2 пристрої:

7 Середня кількість пристроїв зайнятих обслуговуванням:

8 Імовірність того, що в черзі відсутні вимоги:

9 Імовірність того, що в черзі 1 вимога:

10 Імовірність того, що в черзі 2 вимоги:

11 Середня кількість вимог в черзі:

12 Середній час перебування вимог в черзі:

хв.

12 Середній час перебування вимог в черзі, без врахування тих, що не чекали:

хв.

- кількість вимог, що чекали в черзі.

13 Середній час обслуговування вимоги пристроями:

хв.

14 Загальний середній час перебування вимоги у СМО:

хв.

15 Середня кількість вимог у системі обслуговування:

У теорії МО розглядаються багатоканалні СМО типу М/М/m з m пристроями 2-ох типів.

1) З відмовами, коли зайняті всі m пристроїв і вимога отримає відмову в обслуговуванні;

2) З очікуванням, коли зайняті m пристрої і вимога чекає в черзі (к-сть місць очікування).

Якщо в системі (m+n) вимог, надходить нова то вимога отримує відмову. Для кожного з цих двох випадків можна побудувати систему диференційних рівнянь, які опусують усі стани СМО.

1. Імовірність того, що всі пристрої для обслуговування вільні:

,

якщо ,де – сер час обслуговування вимоги.

2. Імовірність того, що зайнято обслуговуванням k пристроїв, або знаходяться k вимог:

3. Імовірність того, що всі пристрої зайняті :

4. Імовірність того, що всі пристрої зайняті обслуговуванням і n вимог знаходяться у черзі.

5. Середня довжина черги:

6. Середня кількість вільних від обслуговування пристроїв:

7. Середня кількість зайнятих обслуговуванням пристроїв

8. Середній час очікування вимогою початку обслуговування в системі:

.

6 МЕРЕЖІ СМО

Мережі – це системи, кожний вузол яких є окремою СМО. За допомогою мереж СМО моделюють транспортні, технологічні та обчислювальні системи. Аналіз мереж СМО є набагато складнішим, ніж окремих СМО.

Для обчислення показників роботи комп’ютерів і комп’ютерних систем запропоновано методи операційного аналізу, який надає математичний апарат для аналізу технічних і економічних систем багатьох типів і дозволяє легко визначити показники їх роботи. Він базується на моделюванні логіки роботи системи, що дає змогу встановити прості залежності між параметром і показниками роботи системи.

У загальному випадку мережу СМО можна зобразити у вигляді графа, вершинами якого є однокальні або багатокальні СМО (дуги – це потоки пересування вимог).

Найпростіша мережа утворюється шляхом послідовного з’єднання кількох СМО (багатофазове). Є замкнені і розімкнені.

Для замкненої стохастичної мережі не існує зовнішніх джерел вимог, тобто в ній завжди знаходиться однакова кількість вимог. Замкнена мережа ізольована від зовнішнього середовища. У розімкненій існують джерела і стоки вимог.

Рисунок 6.1 - Розімкнена МСМО

Найпростіша замкнена мережа має 2 вузли: перший містить М пристроїв для обслуговування, а другий – N. Така мережа – це модель СМО з відмовами і відновленнями. Пристрої для обслуговування М можуть виходити з ладу та відновлюватись із заданими інтенсивностями у випадкові моменти часу. У цій мережі постійно знаходиться М вимог, які з’являються в разі відмови пристроїв обслуговування. Якщо пристрій виходить з ладу, до бригади з N ремонтниками надходить вимога на його ремонт, після завершення якої пристрій відновлює свою роботу.

Рисунок 6.2 - Замкнена мережа

Якщо маємо мережу, яка взаємодіє з зовнішнім середовищем, то його позначаємо як вузол D мережі.

q_i – ймовірність, з якою потоки надходять до і -го вузла мережі.

У сталому режимі роботи мережі для всіх потоків справедливий закон про сумарні потоки:

,

де, N – кількість вузлів.

6.1 Операційний аналіз мереж

Операційний аналіз мереж системи базується на таких положеннях:

- усі припущення щодо властивостей вхідних і вихідних змінних системи можна перевірити шляхом вимірювань впродовж кінцевого проміжку часу параметрів функціонування реальної системи або її моделі.

У системі повинен існувати баланс потоків вимог: кількість вимог, які залишили систему протягом деякого часу спостереження дорівнює кількості вимог, що надійшли в систему за цей ж період.

Пристрої для обслуговування мають бути однорідними; надходження вимог до вузла не повинні залежати від довжини черги у вузлах і часу закінчення обслуговування пристроями.

Основні показники

1) середній час перебування вимог в окремих вузлах;

2) середній час завантаження пристроїв у вузлах;

3) середня довжина черг до вузлів і т.д.

Більшість рез. в операційному аналізу стосуються замкнених мереж але якщо в мережі є черга, то завжди можна вважати, що одна вимога покинула систему і надійшла інша з такими ж параметрами.

Операційні змінні

q_0j – імовірність (частота) надходження зовнішніх вимог до вузла j (), де k – загальна кількість вузлів.

q_kj – імовірність (частота) надходження зовнішніх вимог від k -го вузла до j -го.

q_k0 – після k -го вузла вимога залишає систему.

А_k – кількість вимог, що надійшли до вузла k.

C_kj – кількість вимог, що залишили вузол k і надійшли до j -го вузла.

B_k – загальний час обслуговування вимоги у вузлі k.

Т – загальний час спостереження за системою.

, ,

Для замкненої мережі виконується умова А₀ = С₀

Серед операційних змінних найчастіше застосовують:

1) коефіцієнт використання вузла k:

(6.1)

2) середній час обслуговування у вузлі k:

(6.2)

де B_k – час обслуговування вимоги у вузлі k

C_k – кількість вимог, що покинули вузол k

3) інтенсивність вихідного потоку вимог від вузла k:

(6.3)

4) відносну частоту переміщення між вузлами k і j:

5) з формул (2) – (4) виведемо коефіцієнт використання вузла

, за умови, що

(6.4)

Розглянемо основні операційні залежності, які грунтуються на гіпотезі про баланс потоків у мережі.

1) Запишемо рівняння балансу потоків вимог:

, (6.6)

2) Продуктивність вузла, тобто інтенсивність з якою вимоги залишають вузол k:

(6.7)

3) Коефіцієнт відвідування вузла k вимогами:

, (6.8)

де

Х₀ – інтенсивність вхідного потоку зовнішніх вимог

4) Запишемо рівняння балансу через коефіцієнти відвідування (поділимо (6.6) на Х₀)

V₀ = 1, , (6.9)

Зв’язок коефіцієнтів відвідування та продуктивності вузла визначаємо:

5) Середній час R перебування вимог у мережі:

, де

R_k – час перебування вимог у вузлі k

W_k – сумарний час обслуговування та очікування вимог у вузлі k.

Отже,

(6.10)

6) Середня кількість вимог у мережі N визначається через середню кількість вимог у кожному вузлі n_k:

, де

(6.11)

Для середнього часу перебування вимог у мережі справедливий закон Літтла, тобто його можна визначити через середню кількість вимог у ньому та інтенсивність потоку:

(6.12)

і для всієї мережі:

(6.13)

Якщо є замкнена мережа з M пристроями і середній час обслуговування вимог кожним з них дорівнює Z, то середній час перебування вимог в мережі:

(6.14)