II. Статистический анализ экспериментальных данных

1) Результаты ресурсных «испытаний», полученные на первом этапе сводим в расчетную таблицу для нахождения функции распределения наработки. По накопленному числу отказов рассчитаем накопленную частоту и построим график статистической функции распределения наработки :

Рисунок 7

2) Вероятность безотказной работы по определению есть

.

Строим график статистической вероятности безотказной работы: :

Рисунок 8

3) Гистограммой относительных частот называют сту­пенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, осно­ваниями которых служат частичные интервалы (в нашем случае ширина интервала равна шагу времени наблюдений =10 час), а высоты равны отношению (плотность относительной частоты). Строим гистограмму наработки :

Рисунок 9

Таблица 3 Расчетная таблица

Номер	Время наблюдения	Кол-во исправных изделий	Число отказов	Накопленное число отказов	Частота отказов	Накопленная частота отказов		Среднее число исправных изделий	Интенсивность отказов	Теоретические вероятности
	час
										7,23E-05	0,00077	7,23E-05
					0,002857	0,002857	0,000286	349,5	0,002861	0,000165	0,001901	8,79E-05
						0,002857				0,000351	0,00438	0,000351
					0,008571	0,011429	0,000857	347,5	0,008633	0,00069	0,009425	4,03E-05
					0,014286	0,025714	0,001429	343,5	0,014556	0,001262	0,018962	2,19E-05
					0,031429	0,057143	0,003143	335,5	0,032787	0,002143	0,035704	0,000467
					0,025714	0,082857	0,002571	325,5	0,02765	0,003376	0,063001	0,000192
					0,042857	0,125714	0,004286	313,5	0,047847	0,004938	0,10433	8,61E-05
					0,091429	0,217143	0,009143		0,110345	0,006704	0,162447	0,000887
					0,085714	0,302857	0,008571		0,11583	0,008449	0,238343	1,78E-06
					0,068571	0,371429	0,006857		0,103448	0,009884	0,33039	0,000927
					0,111429	0,482857	0,011143	200,5	0,194514	0,010734	0,434067	1,55E-05
					0,094286	0,577143	0,009429	164,5	0,200608	0,010822	0,542517	0,000179
					0,111429	0,688571	0,011143	128,5	0,303502	0,010127	0,647873	0,000102
					0,085714	0,774286	0,008571		0,319149	0,008797	0,742925	5,79E-06
					0,071429	0,845714	0,007143	66,5	0,37594	0,007094	0,822568	3,37E-07
					0,06	0,905714	0,006	43,5	0,482759	0,00531	0,884542	8,96E-05
					0,045714	0,951429	0,004571		0,64	0,00369	0,929329	0,000211
					0,028571	0,98	0,002857		0,833333	0,00238	0,959387	9,56E-05
					0,011429	0,991429	0,001143		0,8	0,001425	0,978122	5,59E-05
					0,005714	0,997143	0,000571			0,000792	0,988967	6,15E-05
						0,997143				0,000409	0,994797	0,000409
					0,002857		0,000286	0,5		0,000196	0,997708	4,13E-05
										8,7E-05	0,999057	8,7E-05
Σ												0,0045

4) Интенсивность отказа это условная плотность вероятности возникновения отказа, определенная при условии, что до этого момента отказ не возник. Для определения используется следующая статистическая оценка: , где - число отказавших изделий в интервал времени Dt, - среднее число исправных изделий в интервал времени Dt: . Строим статистический график интенсивности отказов :

Рисунок 10

Аппроксимируем статистический график интенсивности отказов экспонентой вида . Для этого применим метод наименьших квадратов. Логарифмируя, запишем: . Будем искать параметры и , минимизирующие сумму квадратов отклонений . Это приведет нас к системе уравнений ( - число позиций суммирования)

Таблица 4

		0,00286123	-5,856503562	-1464,12589	0,007653421
		0,008633094	-4,752152376	-1283,081142	0,013359933
		0,014556041	-4,229749199	-1184,329776	0,017651379
		0,032786885	-3,417726684	-991,1407382	0,023321312
		0,02764977	-3,588137884	-1076,441365	0,030812528
		0,04784689	-3,039749159	-942,3222393	0,040710054
		0,110344828	-2,20414502	-705,3264065	0,05378684
		0,115830116	-2,15563068	-711,3581244	0,071064119
		0,103448276	-2,268683541	-771,352404	0,093891164
		0,194513716	-1,637252601	-573,0384102	0,124050658
		0,200607903	-1,606403009	-578,3050831	0,163897911
		0,303501946	-1,192367258	-441,1758855	0,216544804
		0,319148936	-1,142097401	-433,9970122	0,286102804
		0,37593985	-0,978326123	-381,5471879	0,378004058
		0,482758621	-0,7282385	-291,2954001	0,499425612
		0,64	-0,446287103	-182,9777121	0,659849904
		0,833333333	-0,182321557	-76,57505385	0,871805302
		0,8	-0,223143551	-95,95172707	1,151844502
					1,521837219
			0,693147181	318,8477031	2,656543287
Суммы
			-38,95576803	-11865,49385

Система уравнений принимает вид .

Решением системы является пара коэффициентов: -11,84 и 0,0279. Качество аппроксимации иллюстрирует следующий график

Рисунок 11

Функцию можно представить в виде . Тогда . Отсюда видно, что показатели надежности изучаемых изделий имеют «стареющий» характер. Новые изделия характеризует интенсивность отказов 1/час. В дальнейшем, каждые 100 часов наработки влекут увеличение интенсивности отказов примерно в 16 раз. Или так: рост интенсивности отказов в 10 раз происходит каждые 82,7 часов наработки ресурса.

На практике прибегают к упрощенной, интегральной оценке интенсивности отказов. Используется статистика . Среднее значение этой статистики, имеющейся в расчетной таблице, равно 0,00417. Обращаясь к графику, показанному на рис.12, можно видеть, что данная величина является средним интегральным значением плотности распределения наработки.

5) Нелинейный рост интенсивности отказов и экспоненциальный вид гистограммы наработки позволяет выбрать нормальный закон распределения:

.

В качестве оценки математического ожидания используем выборочную среднюю час. Отметим, что среднее значение весьма близко к 350 – математическому ожиданию модельного распределения.

Для оценки дисперсии используем исправленную выборочную дисперсию (час²),

откуда час. Отметим, что «эмпирическое» среднеквадратическое отклонение близко к модельному значению, равному 35.

Используя найденные оценки дисперсии и математического ожидания, применим табличный процессор EXCEL (оператор «НОРМРАСП») и занесем в расчетную таблицу вероятности теоретического нормального распределения. Построим графики статистического и теоретического распределений:

Рисунок 12

Рисунок 13

Вывод: характер кривых качественно совпадает, но теоретическое распределение несколько смещено назад. В этом, а также в нерегулярности графика эмпирической плотности относительной частоты выражается влияние искусственно внесенной в разделе 1 погрешности «наблюдений».

6) Итак, мы вправе предполагать, что статистическая функции распределения наработки может быть аппроксимирована нормальным распределением с математическим ожиданием =356,086 час и =36,66 час. Подтвердим выдвинутую нулевую гипотезу H₀ с помощью критерия согласия Пирсона.

Для этого вычислим статистику с степенями свободы, где =12 - число интервалов статистического ряда; =2 - число параметров теоретического распределения, вы­численных по статистическим данным (см. таблицу выше). Получаем: .

Применим в MS EXCEL оператор «ХИ2ОБР» и для уровня значимости γ=95% при числе сте­пеней свободы найдем критическое значение =11,6. Так как , т.е. фактически наблюдаемое значение не превышает критиче­ское, гипотеза H₀ о применимости нормального распределения хорошо согласуется со статистическими данными.

7) Пользуясь полученными вероятностными зависимостями, можно определять γ% наработку до отказа.

Применим табличный процессор MS Excel. Например для γ=99%, используя теоретическое распределение

и встроенную функцию «НОРМОБР(0,99;356,086;36,66)», найдем

441,36час

Вычисление вероятности безотказной рабо­ты изделия в течение заданного времени рассмотрим для гарантийного ресурса =400 час. Из оператора «НОРМРАСП(400;356,086;36,66)» следует:

=1-0,079=0,921