Средние величины и показатели вариации

Массовые явления обладают как общими для всей совокупности, так и индивидуальными свойствами. Различия между индивидуальными явлениями называется вариацией. Варианту можно представить следующим образом:

Δ _i

где x_i - варианта, с - общность, которая характеризуется средними величинами, Δ _i - индивидуальность, которая характеризуется показателями вариации.

В широком понимании средней величиной является всякий обобщающий показатель.

Средняя, являясь обобщенной характеристикой всей статистической совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности. Формальное определение среднего следующее: средней величиной множества x₁,x₂,...,x_n является такая величина , рассмотрение которой в качестве n раз позволяет сохранить некоторые математические свойства множества.

Раскрытие функции F(x₁, x₂, x₃,..., x_n) приводит к построению различных средних, среди которых наиболее широко используются степенные средние вида:

.

Придавая z различные значения, получим различные виды средних:

Z=-1 - средняя гармоническая

Z=0 - средняя геометрическая

Z=1 - средняя арифметическая

Z=2 - средняя квадратическая

Все средние связаны правилом, которое называется правилом мажорантности средних:

X_h<=X_g <= X_a<=X_q

Рассмотренные средние называются простыми.

Пример. Есть предприятие, на котором работает 1000 рабочих и 10 оправляющих, которые получают в среднем соответственно 5000 и 50000 рублей. Опр. среднюю з/п.

(5000+50000)/2 = 27500 – простая средняя

(1000*5000+10*50000)/1010 = 9000 – взвешенная средняя

Если средняя величина служит для характеристики обобщенных показателей системы, то используются не простые, а взвешенные средние. Обобщающая формула для взвешенных средних следующая:

где f - веса вариант, частоты или частности.

Наиболее часто в качестве средних используется средняя арифметическая.