Вправи для повторення. 358. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

358. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

а) 4 a - 3 + (3 a + 5 - 2 a); б) 2 x + 12 – (4 x + 12 – 3 x);

в) (-3 a + 4 b) – (2 a - 1) + 6 b; г) (-4 x + 4) - (3 x – y) - (2 + 2 y).

359. Розв’яжіть рівняння:

а) 4 - 3 y = 2(3 y + 11); б) 0,5(9 z + 2) = 7 z + 2,5;

в) -1,2(m - 1) + 0,7 = m + 0,8; г) 2(-4 x + 4) - 3(3 x – 2) - 3 х = –1.

360. Човен проплив 84 км за 4,5 год, до того ж, протягом 2,5 год він плив за течією річки i протягом 2 год ¾ проти течії. Яка швидкість човна у стоячій воді, якщо швидкість течії річки дорівнює 2,4 км/год?

11. Додавання і віднімання многочленів

1. Додавання многочленів. Додамо многочлени 4 а ² - 6 а + 5 і -2 а ² + 3 а + 2:

(4 а ² - 6 а + 5) + (-2 а ² + 3 а + 2) = 4 а ² - 6 а + 5 - 2 а ² + 3 а + 2 = 2 а ² - 3 а + 7.

Розкривши дужки, та звівши подібні доданки, ми записали суму даних многочленів у вигляді многочлена. Отже, сумою многочленів 4 а ² - 6 а + 5 і -2 а ² + 3 а + 2 є многочлен 2 а ² - 3 а + 7.

У такий же спосіб додають три й більше многочленів. Суму будь-яких многочленів завжди можна записати у вигляді многочлена.

2. Віднімання многочленів. Віднімемо від многочлена 4 х ² - 4 х + 7 многочлен 2 х ² - 3 х + 5:

(4 х ² - 4 х + 7) - (2 х ² - 3 х + 5) = 4 х ² - 4 х + 7 - 2 х ² + 3 х - 5 = 2 х ² - х + 2.

Розкривши дужки, та звівши подібні доданки, ми записали різницю даних многочленів у вигляді многочлена. Отже, різницею многочленів 4 х ² - 4 х + 7 і 2 х ² - 3 х + 5 є многочлен 2 х ² - х + 2.

Різницю будь-яких многочленів завжди можна записати у вигляді многочлена.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Знайти суму многочленів:

а) -5 х ² + 2 xy - 4 і 4 x ² - 6 xy;
б) 2 a ² b - 2; 5 a ² b + 2 а і -3 a ² b + 6 а.

● а) (-5 х ² + 2 xy - 4) + (4 x ² - 6 xy)= =

= .

б)

4 a ² b + 8 а - 2. ●

Приклад 2. Знайти різницю многочленів 5 а ² - 1 + 4 ab і 8 a ² - 3 ab.

● (5 а ² - 1 + 4 ab)- (8 a ² - 3 ab) = =-3 a ²+ 7 аb - 1. ●

Приклад 3. Розв’язати рівняння 4 х ³ - 2 х - (4 х + 9 + 4 х ³) = 0.

● 4 х ³ - 2 х - 4 х -9 - 4 х ³ = 0; -6 х -9 = 0; -6 х =9; х = -1,5.

Відповідь. -1,5. ●

Приклад 4.Довести, щосума трьох послідовних непарних чисел ділиться на 3.

● Нехай із трьох послідовних непарних чисел найменшим є 2 n + 1, де n ¾ деяке ціле число. Тоді наступні непарні числа ¾ 2 n + 3 і 2 n + 5. Сума цих трьох чисел

2 n + 1 + 2 n + 3 + 2 n + 5 = 6 n + 9

ділиться на 3, бо кожний доданок у сумі 6 n + 9 ділиться на 3. ●

Усно

361. Знайдіть суму многочленів:

a) 2 a ² - а і а ² - 3 a; б) 4 х + 1 і х ² + 2 х + 4.

362. Знайдіть різницю многочленів:

а) 5 a ² + 4 a і 4 a ² + 2 a; б) 5 y ² + 4 y + 4 і 4 y ² + 4 y.

Рівень А

363. Дано два многочлени: 3 х ² + 2 х - 5 і 2 х ² - 2 х + 3. Запишіть та подайте у вигляді многочленів стандартного вигляду: а) суму цих многочленів; б) різницю першого і другого многочленів; в) різницю другого й першого многочленів.

364.Запишіть суму та різницю многочленів 6 y ² - 4 y + 3і 5 y ² + 6 y - 3. Подайте суму та різницю у вигляді многочленів стандартного вигляду.

Знайдіть суму многочленів:

365. a) 2 a ³ - 4 a ² + а і а ³ + 3 a ² - 2 a + 2; б) 5 х + 2; - х ² + 4 х - 3 і 3 х ² - 4;

в) a ² - 2 ab + b ² і a ² + 2 ab + b ²; г) 4 xy - 6 х; 2 x - 6 хy і - xy - x.

366. а) -3 х ⁴ + 5 х ² - 5 і х ⁴ - 3 х ² + 4; б) -2 b ² - 3; 3 b ² + 2 і -2 b ² + 1.

Знайдіть різницю многочленів:

367. а) 3 с ³ + 3 с ² - 4 с + 1 і 2 с ³ - 3 с ² + с - 5;

б) 5 х ³ - 4 х ² + 3 х - 4 і 7 х ³ - 4 х ² + 3 х + 11;

в) 2 а ² - 8 а + 5 і 2 а ² -2 а - 5;

г) - а ⁴ + 3 а ²+ 3 і 2 а ⁴ - 5 + 3 а ³.

368. а) 4 х ³ + 3 х ² + х - 4 і 2 х ³ - х ² + 2 х + 7;

б) -4 m ³ + 4 m ² + m - 1 і -4 m ³ + 4 m ² + m + 1;

в) 5 a ² + 3 a + 6 і 8 a ³ + 2 а ² + 6.

369. Знайдіть суму та різницю многочленів:

а) а + b і а - b; б) а - b і b - a.

Спростіть вираз:

370. а) 4 а - (5 a ² + 3 a - 2); б) 4,5 аb + 3 а + (-2,6 аb - 2,9);

в) (4 т ² - 3 m + n)- (-5 m + m ² - 3 n); г) x ² + y - (2 x ²- y) - (-3 x ² + y).

371. а) (- а + а ²) - (3 а ² - 2 + 2 a); б) (7 x ³- 4 x)- (8 x - 3 x ³) - (x ³+ x).

Розв’яжіть рівняння:

372. а) 2 x ²- 3 x - (2 x - 4 + 2 x ²) = 0; б) - х ³ - 4 - (4 х - х ³ + 4) = 0.

373. а) -5 х + х ²+ 3 - (х + х ²) = 0; б) 3 x ² + 4 x + 6 - (-6 x + 3 x ² - 2) = 0.

Рівень Б

Спростіть вираз:

374. а) (-2 a ² b ³ + ab ³) - (a ² b ³- 3 аb ³) - (4 ab ³- 4 a ² b ³);

б) 3 x ⁵ + x ⁴- (2 x - 3 x ⁴ + 12) - (3 x ⁵ + 2 x ⁴- 3) - (3 x ⁴ + 2);

в) 5 xy - (x ² + 4 xy - (- x ² + xy));

г) -4 a ² + b + (-7 b - 2 + а ² - (2 a ² - (b - 1))).

375. а) 7 х ⁴ - (4 x ² - x ⁴ + 3 x) - (-3 x ² + 8 x ⁴ + 2 x);

б) 6 ab + 3 b ²- (1 + 2 b ²) - (-2 ab - 3 b ²) + 1;

в) 2 n ² + 3 n - (-3 n - 1 + 2 n ² - (n - 1 - n ²)).

376. Знайдіть такий многочлен Р, при якому рівність є тотожністю:

а) Р + (2 х ² + х - 2) = - х ² + 1;

б) Р - (х ² - 3 x + 3) = 3 x - 1;

в) (4 х ² - 2 x + 1) - Р = х ² - 2 x + 1.

377. Знайдіть многочлен, який у сумі з многочленом 2 x ² + x - 4 дає много­член 3 x + 2.

Розв’яжіть рівняння:

378. а) 4 x ²- (5 x - 10 + x ²) = 3 x ²; б) -(х ⁴ - 1) - (3 - 5 х ⁴ + 4 х) = 4 х ⁴ + 5.

379. а) -(1 + 2 х - х ²) - (3 х + 5) = х ²; б) 2 - (-6 + x - 4 x ³) = 4 x ³ + x + 4.

Рівень В

380. Доведіть, що сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6.

381. Доведіть, що сума чотирьох послідовних непарних чисел ділиться на 8.

382. Учитель задав на уроці цікаву задачу. Кількість хлопців, які розв’язали задачу, виявилась такою ж, як і кількість дівчат, які її не розв’язали. Кого у класі більше: тих, хто розв’язав задачу, чи дівчат?

383. Знайдіть такі числа а і b, щоб сумою многочленів x ² – аbx + 3 і
ах ² + 2 x – 4 був многочлен 3 x – 1.