Алгебра

Алгебра

Підручник для 7 класу

Тернопіль

Видавництво «Підручники і посібники»

УДК 51

ББК 22.1я721

К 77

Редактор Сергій Мартинюк

Літературне редагування Людмили Олійник

Художнє оформлення Олени Соколюк, Світлани Демчак

	Кравчук Василь, Янченко Галина
К 77	Алгебра. Підручник для 7 класу. — 240 с.
	ISBN 966-562-898-4

УДК 51

ББК 22.1я721

ISBN 966-562-898-4

© Кравчук В., Янченко Г., 2006

Юні друзі!

Ви розпочинаєте вивчення однієї з основних математичних дисциплін — алгебри. Сподіваємося, що підручник, який ви тримаєте в руках, допоможе вам не загубитися в лабіринтах цієї поки що непізнаної науки.

Щодо особливостей підручника, то матеріал, який ви вивчатимете, поділено на чотири розділи, сім параграфів, а параграфи — на пункти.

Кожний пункт розпочинається викладом теоретичного матеріалу. Деякі пункти містять додатковий матеріал під рубрикою «Для тих, хто хоче знати більше».

Далі — рубрика «Приклади розв’язання вправ». Це підказка. Вона допоможе вам ознайомитися з основними видами вправ, способами їх розв’язування та навчить правильно записувати розв’язання.

Прочитавши теоретичний матеріал та поміркувавши над зразками розв’язаних задач, варто спочатку розв’язувати усні вправи і простіші задачі (рівень А), а відтак переходити до складніших (рівень Б). Задачі рівня В — для найкмітливіших — тих, хто хоче вміти та знати більше й отримувати найвищі оцінки. Для деяких задач цього рівня наведено розв’язання.

Рівень А Рівень Б Рівень В

Для самостійної роботи вдома рекомендовано задачі, номери яких виділено (наприклад, 343).

Рубрика «Вправи для повторення» допоможе періодично повторювати основні види вправ.

Після вивчення параграфа ви зможете повторити й систематизувати матеріал, відповівши на запитання та розв’язавши задачі в кінці параграфа.

Свої знання можна перевірити, розв’язавши завдання для самоперевірки, вміщені в кінці кожного параграфа.

Щиро бажаємо успіху!

§ 1. РІВНЯННЯ

1. Поняття рівняння

1. Що таке рівняння. Розглянемо задачу.

Маса 4 великих і 15 малих деталей дорівнює 270 г. Маса великої деталі втричі більша від маси малої. Яка маса малої деталі?

Нехай маса малої деталі дорівнює х г, тоді маса великої ¾ 3 х г. Маса 15 малих деталей дорівнює 15 х г, а 4 великих ¾ 4 × 3 х = 12 х (г). За умовою задачі сума цих мас дорівнює 270 г:

15 х + 12 х = 270.

Ми дійшли до рівності, що містить невідоме число, позначене буквою х (ще кажуть: рівність містить змінну х). Щоб розв’язати задачу, потрібно знайти значення х, для якого рівність 15 х + 12 х = 270 є правильною числовою рівністю.

Рівність з невідомим значенням змінної називають рівнянням з однією змінною (або рівнянням з одним невідомим).

2. Корінь рівняння. Розглянемо рівняння 3 х = х + 6. Підставляючи замість змінної х деякі числа, одержуватимемо числові рівності, які можуть бути правильними або неправильними. Наприклад:

якщо х = 3, то матимемо рівність 3 × 3 = 3 + 6, яка є правильною;

якщо х = 4, то матимемо рівність 3 × 4 = 4 + 6, яка є неправильною.

Значення змінної, для якого рівняння перетворюється у правильну числову рівність, називають коренем, або розв’язком рівняння.

Отже, число 3 є коренем рівняння 3 х = х + 6, а число 4 — ні.

3. Кількість коренів рівняння. Рівняння можуть мати різну кількість коренів. Наприклад:

рівняння 3 х = 9 має лише один корінь ¾ число 3;

рівняння (х - 2)(х - 6) = 0 має два корені ¾ числа 2 i 6;

рівнянню х + 0 = х задовольняє будь-яке число х; кажуть, що це рівняння має безліч коренів.

Рівняння може й не мати коренів. Розглянемо, наприклад, рівняння х + 1 = х. Для будь-якого числа х значення лівої частини рівняння на 1 більше від значення правої частини. Отже, яке число х ми не взяли б, рівність х + 1 = х буде неправильною. Тому це рівняння не має коренів.

Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.

Розв’яжемо рівняння, складене вище за умовою задачі:

15 х + 12 х = 270; 27 х = 270; х = 270: 27; х = 10.

Отже, маса малої деталі дорівнює 10 г.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Чи є число 2,5 коренем рівняння 3 х – 0,5 = 2(х + 1)?

● Якщо х = 2,5, то:

значення лівої частини рівняння дорівнює: 3 × 2,5 – 0,5 =
= 7,5 - 0,5 = 7;

значення правої частини дорівнює: 2(2,5 + 1) = 2 × 3,5 = 7.

Значення обох частин рівняння рівні, тому х = 2,5 — корінь даного рівняння. ●

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

а) 3(х - 7) = 12; б) (2 х + 1)(2 х – 4) = 0; в) х ² + 7 = 3.

● а) 3(х - 7) = 12; х - 7 = 12: 3; х - 7 = 4; х = 4 + 7; х = 11.

Відповідь. 11.

б) Добуток дорівнює нулю лише тоді, коли один із множників дорівнює нулю. Отже, 2 х + 1 = 0 або 2 х – 4 = 0, звідки х = -0,5 або х = 2.

Відповідь. –0,5; 2.

в) х ² + 7 = 3; х ² = 3 - 7; х ² = -4. Квадрат числа не може дорівнювати від’ємному числу. Тому дане рівняння не має коренів.

Відповідь. Рівняння не має коренів. ●

Усно

1. Які із записів є рівняннями:

а) 4 х + 7; б) 4 х – х = 15; в) 14 - 2,5 = 11,5;

г) 8(х – 3) = 34; д) 5 х – 2 х + 5; е) х > 2?

2. Чи є число 2 коренем рівняння:

а) 5 х = 3 х + 4; б) 2 х + 8 = 7 х; в) 10 - y = y (y + 2)?

3. Скільки коренів має рівняння:

а) 2 х = 1; б) 2 х = 0; в) х = х + 3;

г) 2 + х = х + 2; д) х (х - 5) = 0; е) = 0?

Рівень А

4. Доведіть, що число 1,5 є коренем рівняння:

а) 4 х - 3 = х + 1,5; б) 2(1 - 2 х) + х = -5 х + 5.

5.Доведіть, що число 8 є коренем рівняння:

а) 0,5 х + 6 = 2 х - 6; б) 4(х + 3) = 49 - (х - 3).

6. Вкажіть рівняння, для якого число 3 є коренем:

а) 7 х - 12 = 3 х; б) 2 х - 4 х + 8 = 1; в) 3(8 - y) = 5 y.

7.Вкажіть рівняння, для якого число 2 є коренем:

а) 6 х = - 2 + 7 х; б) 2(y - 5) + 7 = 1; в) 5 - (6 - x) = x.

Розв’яжіть рівняння:

8. а) 5 х + 3 = 18; б) 1,7 х - 2 = 3,1; в) 4 - 4 y = 6;

г) -1,2 y = 0,03; д) -4(х + 8) = -108; е) 5(2 y + 1) = -1;

є) 12,6 = 6(х + 2,5); ж) z: 1,5 = -7; з) (0,7 х + 1): 0,5 = 4.

9. а) 6 + 3 z = 15; б) 2 х - 11 = –3; в) 7 - 6 x = 10;

г) 4(2 х + 3) = -4; д) -2(3 + y) = 10,06; е) (5 z + 4): 3 = -17.

Рівень Б

10. Запишіть рівняння, яке має:

а) єдиний корінь ¾ число 4;

б) двакорені ¾ числа-4і 4.

11. Чи є число 1,5 коренем рівняння:

а) х - 1 = |1 - x |; б) х + |- x | = 0?

12.Доведіть, що число 2 є коренем рівняння 4 - х = |- x |.

Розв’яжіть рівняння:

13. а) (3 х + 7)(3 х - 2) = 0; б) х ² + 8 = 4.

14. а) (4 х - 6)(2 х + 6) = 0; б) 2 x ² + 7 = 1.

Рівень В

15. Знайдіть таке число а, щоб коренем рівняння 2 х + а = -1 було число 1.

16. Рівняння 5 х = а - 3 має той же корінь, що й рівняння 2 х - 7 = 1. Знайдіть а.

17. Не виконуючи обчислень, доведіть, що число 2 не є коренем рівняння

135 х (1297 х - 468) - 114(273 х + 575) - 2125 = 0.

18. Розв’яжіть рівняння:

а) (х – 1)(2 х - 1)(3 х - 1) = 0; б) х ²(х – 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) = 0.