Последовательное различение двух простых гипотез (последовательный анализ Вальда)

Задачу различения двух простых гипотез поставим иначе. Объем наблюдений фиксировать не будем. рассмотрим правило различения, которое имело бы заданные уровни вероятностей ошибок и при этом требовало минимальное в среднем число наблюдений. Во многих практических ситуациях требование скорейшего принятия решения является весьма существенным, например, испытания надежности, выборочный контроль, принятие решения о наличии цели в радиолокации, испытания экономической системы и т.д.

Пусть х ₁ ,..., х_n,... - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин. Относительно распределения имеется два предположения:

Н ₀: наблюдения распределены с плотностью р ₀ (х),

Н ₁: наблюдения распределены с плотностью р ₁(х); (если наблюдения дискретны, то р ₀(х), р ₁(х) - вероятности).

После каждого наблюдения предоставляется выбор из трех возможных решений:

- принять Н ₀и закончить наблюдения,

- принять Н ₁ и закончить наблюдения,

- не принимать ни одну из гипотез и продолжить наблюдения.

Формулировка решающего правила (последовательный критерий отношения вероятностей). Рассмотрим следующую процедуру d. Зафиксируем два порога: верхний А и нижний В: 0 < В < 1 < А. Пусть уже получено n наблюдений (n = 1, 2,...); обозначим

L_n (x ₁ ,..., x_n) =

- отношение правдоподобия. Процедура d^* на очередном шаге n такова:

если L_n (x ₁ ,..., x_n)³ A, то принимается Н ₁и наблюдения заканчиваются;

если L_n (x ₁ ,..., x_n)£ В, то принимается Н ₀ и наблюдения заканчиваются; (7)

если В< L_n(x ₁ ,..., x_n) < А, то делается еще одно наблюдение.

Очевидно, эта процедура характеризуется некоторыми вероятностями ошибок и средними числами наблюдений:

a = a(А, В) = Р {пр. Н ₁ /Н ₀}, b = b(А, В) = Р {пр. Н ₀ /H ₁},

n ₀ =n ₀(А, В) = М (n /H ₀), n ₁ = n ₁(А, В) = М (n /H ₁),

где n - число наблюдений (случайная величина) до принятия окончательного решения. Если a₀ и b₀ заданы, то в принципе можно найти пороги А и В, т.е. правило d^*. Оказывается, такое правило обладает свойством оптимальности.

Теорема ( Вальд и Вольфовиц, 1948 г. ). Среди всех решающих правил d¢, обладающих свойством

a(d ^¢) £a₀, b(d ^¢) £ b₀,

последовательный критерий отношения вероятностей d^* имеет минимальные средние числа наблюдений:

n ₀(d*) £ n ₀(d¢), n ₁(d*) £ n ₁(d¢),

Заметим, что минимальность достигается сразу по двум характеристикам. (см. [7]).

Основные формулы. Легко показать справедливость неравенств, связывающих пороги с вероятностями ошибок:

А £ , В ³ .

Вместо неизвестных значений А и В возьмем их приближенные значения А^¢ и В^¢:

А» А^¢ = , В» В^¢ = . (8)

Конечно, при таком выборе порогов будем иметь не a и b, а некоторые a ^¢ и b ^¢. Оказывается, последние несущественно меньше требуемых a и b.

для средних чисел наблюдений справедливы следующие приближенные (обычно с хорошей точностью) формулы:

n ₀ º М (n /H ₀)» ,

n ₁ º М (n /H ₁) » , (9)

где ,

М (z /H_i) = , i = 0, 1.

Функция мощности и среднее число наблюдений, как функции параметра. Пусть х ₁ ,..., х_n,... - последовательность независимых наблюдений, подчиняющихся закону р (х/a), зависящему от параметра а. проверяется гипотеза Н ₀: а = а ₀ при альтернативе Н ₁: а = а ₁. Для различения гипотез используем последовательный критерий отношения вероятностей с порогами А (a, b) и В (a, b). В реальных задачах весьма часто альтернатива Н ₁ (т.е. значение параметра а ₁) выбирается условно, и наблюдения могут подчиняться закону р (х/a)при некотором значении а, не равном а ₀ или а ₁, и потому необходимо знать характеристики правила при произвольном а.

функция мощности W (a) = P {откл. Н ₀ /a } определяется следующим образом (см. [2], [7]):

W (a)» , (10)

где h находится из уравнения

. (11)

W (a) можно вычислить параметрически, зная W (h) и a (h) по (10) и (11). Среднее число наблюдений

n (a) = М (n /a)» , (12)

где М (z /a) = .