Определения и построение интервалов

Пусть (x₁,...,x_n) º x - n независимых наблюдений над случайной величиной с законом распределения F (z / a), зависящим от параметра a, значение которого неизвестно.

Определение 1. Функция наблюдений a₁ (x₁,...,x_n) (заметим, что это случайная величина) называется нижней доверительной границей для параметра a с уровнем доверия Р_Д (обычно близким к 1), если при любом значении

P { a₁ (x₁,...,x_n)£ a }³ P_Д

Определение 2. Функция наблюдений a₂ (x₁,...,x_n) (случайная величина) называется верхней доверительной границей для параметра с уровнем доверия Р_Д, если при любом значении

P { a₂ (x₁,...,x_n)³ a }³ P_Д.

Определение 3. Интервал со случайными концами (случайный интервал)

I (x) = (a₁ (x), a₂ (x)),

определяемый двумя функциями наблюдений, называется доверительным интервалом для параметра a с уровнем доверия Р_Д, если при любом значении a

P { I (x)' a } º P{ a₁ (x₁,...,x_n)£ a £ a₂ (x₁,...,x_n)} ³ P_Д,

т.е. вероятность (зависящая от a) накрыть случайным интервалом I (x) истинное значение a - велика: больше или равна Р_Д.

Построение доверительных границ и интервалов. Для построения доверительного интервала (или границы) необходимо знать закон распределения статистики z=z (x₁,...,x_n), по которой оценивается неизвестный параметр (такой статистикой может быть оценка z = â (x₁,...,x_n)). Один из способов построения состоит в следующем. Предположим, что некоторая случайная величина j = j(z, a), зависящая от статистики z и неизвестного параметра a такова, что

1) закон распределения известен и не зависит от a;

2) j(z, a) непрерывна и монотонна по .

Выберем диапазон для - интервал так, чтобы попадание в него было практически достоверно:

P { f₁ £j(z, a) £ f₂ }³ P_Д, (1)

для чего достаточно в качестве и взять квантили распределения уровня (1- Р_Д)/2 и (1+ Р_Д)/2 соответственно. Перейдем в (1) к другой записи случайного события, разрешив неравенства относительно параметра a; получим (полагая, что монотонно возрастает по ):

P { g (z, f₁)£ a £ g (z, f₂)}³ P_Д.

Это соотношение верно при любом значении параметра a (поскольку это так для (1)), и потому, согласно определению, случайный интервал

(g (z, f₁), g (z, f₂))

является доверительным для a с уровнем доверия Р_Д. Если убывает по , интервалом является (g (z, f₂), g (z, f₁)).

Для построения односторонней границы для a выберем значения и так, чтобы

P {j(z, a) ³ f }³ P_Д, f₁=Q (1 - P_Д)

или P {j(z, a) £ f₂ }³ P_Д , f₂ = Q (P_Д),

где - квантиль уровня . После разрешения неравенства под знаком получим односторонние доверительные границы для a.

Пример. Доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д для среднего a нормальной совокупности при известной дисперсии s .

Пусть x ,..., x_n - выборка из нормальной N (a, s )совокупности. Достаточной оценкой для а является

â = â (x ,...,x_n) = ,

распределенная по закону N (a, ); пронормируем её, образовав случайную величину

, (2)

которая распределена нормально N (0, 1)при любом значении а.

По заданному уровню доверия Р_Д определим для j отрезок [- f_p, f_p ] так, чтобы

, (3)

т.е. f_p - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения N (0,1); заметим, что j зависит от а, но (3) верно при любом значении а. Подставим в (3) выражение для j из(2) и разрешим неравенство под знаком вероятности в (3) относительно а; получим соотношение

, (4)

верное при любом значении а. под знаком вероятности две функции наблюдений

, ( 5)

определяют случайный интервал

I (x₁,..., x_n) =(a₁ (x₁,..., x_n), a₂ (x₁,..., x_n)), (5a)

который в силу (4) обладает тем свойством, что накрывает неизвестное значение параметра а с большой вероятностью Р_Д при любом значении а, и потому, по определению доверительно интервала, он является доверительным с уровнем доверия Р_Д.

В общем случае случайную величину j в (1) можно построить следующим образом. Определим функцию распределения F (z / a)статистики z (F, конечно, зависит от а). Для непрерывной z случайная величина j (z, а) º F(z / a),как нетрудно видеть, распределена равномерно на отрезке [0, 1] при любом значении а; приняв f₁= (1- P_Д)/ 2, f₂ = (1+P_Д)/ 2, будем иметь в качестве (4)

P { f ₁ £ F (z / a) £ f ₂} = P_Д.

Для дискретной z ситуация аналогична.

Можно рассуждать иначе: при любом фиксированном значении а определим отрезок [ z ₁(a), z ₂(a)] так, что

P{ z₁ (a)£ z £ z₂ (a)} ³ Р_Д; (6)

ясно, что в качестве z₁ и z₂ можно взять квантили, т.е. определить из условий

F (z _!/ a)=(1- Р_Д)/ 2, F (z ₂/ a)=(1+ Р_Д)/ 2.

Если z₁ (a) и z₂ (a) монотонно возрастают по а, то, разрешив два неравенства под знаком Р в (6) и учитывая, что z ₁(a) < z ₂(a),получим:

P { z ₂^-1(z) £ a £ z₁^-1(z) } ³ Р_{Д ,}

вверное при любом а; ясно, что интервал (z₂^-1 (z), z₁^-1 (z)), определяемый двумя функциями от z, является доверительным с уровнем доверия Р _Д.