Обчислення випадкових похибок за результатами серії вимірювань фізичної величини

Нехай проведено n однакових вимірювань деякої вели-чини і отримано наступний ряд значень:

. (1.2)

Будемо вважати, що систематичні похибки виключені, тоді отримані значення будіть випадковими величинами. В загальному випадку вони всі відмінні між собою і відрізня-ються від істинного значення через наявність випадкової по-хибки. Для наглядного представлення результатів даних вимірювань можна побудувати так звану гістограму (рис. 1.1, а). Техніка її побудови проста. Діапазон значень від х_тіп до х_тах розбивається на k (де k приймається від 10 до 15) різ-них інтервалів шириною і підраховується число вимірювань з отриманого ряду (1.2), які попадають в кожен з k-інтервалів:

. (1.3)

У вверх від осі x відкладаються прямокутники шири-ною і висотою . Отримана таким чином ступін-часта фігура називається гістограмою.

а)

б)

Рисунок 1. 1 – Розподіл результатів вимірювання фізичної величини

Якщо через точки гістограми, які відповідають сере-динам вибраних інтервалів, провести плавну криву, отрима-ємо наближений графік (рис. 1.1, а). Він показує відносне чис-ло вимірювань , яке припадає на одиницю ширини кожного інтервалу, як функцію величини x. У граничному випадку наближений графік перейде в точний графік деякої функції – рис. 1.1, б. Функція назива-ється щільністю розподілу випадкових вимірювань. Добуток (заштрихована ділянка на рис. 1.1, б) задає ймовірність того, що під час вимірювання величина x буде приймати яке-небудь значення з інтервалу . Повна площа під кривою визначає ймовірність того, що виміряна величина x прийме якесь значення з інтервалу . Така подія є достовірною, ймовірність її рівна одиниці, тоді:

. (1.4)

Вираз (1.4) називається умовою нормування функції .

Вид функції , може бути різним. Однак для перева-жаючої більшості простих вимірювань в науці, техніці і масовому виробництві виконується так званий нормальний закон розподілу або закон Гауса:

. (1.5)

Відповідний графік зображений на рис. 1.2, а, він пред-ставляє собою симетричну дзвоноподібну криву. Функція характеризується двома параметрами: величиною , яка від-повідає максимуму кривої (це теоретичне істинне значення) і шириною кривої на 0,6 її висоти. Параметр a визначає величину розкиду результатів вимірювань відносно істинного значення і називається середньоквадратичним відхиленням. Чим більша величина , тим більша ймовірність помітних відхилень результатів вимірювань від істинного значення (рис. 1.2, а). Таким чином, параметр характеризує якість даних вимірювань.

а)

б)

Рисунок 1. 2 – Визначення довірчих інтервалів для розподілу результатів вимірювання фізичної величини

Як вказувалось раніше, площа під кривою прийма-ється рівною одиниці. Площа під кривою, яка відповідає дея-кому інтервалу на осі , визначає ймовірність попадання результату вимірювання в даний інтервал. Площа під кривою в інтервалі значень становить приблизно 0,68 відсотків (рис. 1.2, б). Це значить, що в середньому 68 від-сотків проведених вимірювань потрапляють в «односигмо-вий» інтервал біля істинного значення. Аналогічно в «двосиг-мовий» інтервал потрапляє в середньому 95 % всіх вимірювань, а в «трьохсигмовий» – 99,7 %, тобто за його межі виходить дуже мала частина всіх вимірювань.

Інтервал, у якому міститься істинне значення вимірюва-ної величини, називається довірчим інтервалом, а ймовірність, що істинне значення потрапляє в довірчий інтервал, назива-ється довірчою ймовірністю , або надійністю. Наприклад, якщо довірчий інтервал прийняти рівним «односигмовому», то довірча ймовірність для нього дорівнюватиме 68 %, для «двосигмового» вона складатиме 95 %, для «трьохсигмового» – 99,7 %.

Надійність результату вимірювання, яка дорівнює 95 %, під час «двосигмового» довірчого інтервалу для більшості практичних розрахунків є цілком достатньою.

Число вимірювань випадкової величини в тому чи іншому експерименті, як правило, обмежене, тому визначити точні значення і неможливо. Але в теорії ймовірностей і математичній статистиці існує методика, яка дозволяє за результатами серії з n-вимірювань (яка називається вибіркою) знаходити наближені оцінки параметрів і . Так, в якості наближеної оцінки істинного значення приймають середнє арифметичне для серії з n-вимірювань:

. (1.6)

А в якості середнього квадратичного відхилення (СКВ) однократного вимірювання від істинного значення використо-вується вираз:

. (1.7)

Якщо отримати m серій, кожна з яких містить n вимі-рювань, то за формулою (1.6) можна розрахувати ряд середніх арифметичних значень:

. (1.8)

Дані значення будуть відрізнятися одне від одного і від істинного значення через обмежене число вимірювань в серії. Цей ряд випадкових величин також розподілений за нормаль-ним законом біля істинного значення. Причому дисперсія розподілу середніх арифметичних менша ніж дисперсія однократного вимірювання , так як середнє значення є кращою оцінкою істинного ніж результат однократного вимі-рювання. Теорія дає наступний вираз для оцінки середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного від істинного значення:

. (1.9)

З формули (1.9) видно, що випадкову похибку серед-нього значення можна зменшити, збільшуючи число вимірю-вань в серії.

Кінцева мета вимірювання полягає в тому, щоб визна-чити довірчий інтервал, всередині якого із заданою довірчою ймовірністю (0,95 в нашому випадку) знаходиться істинне значення фізичної величини , тобто записати результат у вигляді:

. (1.10)

Вираз (1.10) означає, що істинне значення вимірюваної вели-чини знаходиться десь всередині інтервалу із заданою довірчою ймовірністю.

Як вже було наведено, наближена оцінка дисперсії відрізняється від істинного значення дисперсії через обмежене число вимірювань в серії. Ця відмінність буде тим більша, чим менше число вимірювань в серії. Через цю причину не можна приймати довірчий інтервал просто рівним «двосигмо-вому» – , для використовуваної нами довірчої ймовірності 0,95. Необхідно ще внести поправку, яка залежить від числа вимірювань і розширяє довірчий інтервал. Для цієї цілі вико-ристовуються так звані коефіцієнти Стьюдента – , що наводяться в таблицях для різного числа вимірювань n під час різних довірчих ймовірностях (додаток А). З врахуванням коефіцієнта Стьюдента ширина довірчого інтервалу обчислюється за формулою:

. (1.11)

Величина , визначена за (1.11), характеризує абсо-лютне відхилення результату вимірювання від істинного зна-чення і називається абсолютною похибкою. Абсолютна по-хибка ще не дає повного представлення про точність прове-дених вимірювань. Наприклад, абсолютна похибка під час вимірювання двох часових інтервалів в 100 с і 10 с виявилася однаковою і рівною 1 с, але зрозуміло, що точність цих вимі-рювань різна. Оцінити її можна, розрахувавши відносну по-хибку за формулою:

. (1.12)

Відносна похибка показує, яку долю становить абсо-лютна похибка від результату вимірювання і зазвичай виража-ється у відсотках. У нашому випадку для інтервалу в 100 с відносна похибка складає 1 %, для інтервалу 10 с – 10 %, тоб-то точність першого вимірювання суттєво вища [1].