Лабораторна робота № 8

Тема:	Дослідження основних логічних елементів
Мета роботи: Зміст роботи: Організаційні та методичні вказівки:	Ознайомлення з засобами прикладних програм для дослідження логічних елементів. Надбання та застосування навичок роботи з засобами прикладних програм для дослідження логічних елементів. Ознайомлення з законами алгебри логіки, логічними елементами та їх часовими діаграмами засобами прикладних програм та дослідження логічних елементів.   Лабораторну роботу проводять після вивчення теми “Логічні елементи. Основні логічні операції.” з підгрупою студентів ву два етапи: 1. Підготовчий етап: Вивчення можливостей дослідження операцій алгебри логіки засобами прикладних програм для дослідження логічних елементів. 2. Виконавчий етап: Побудова таблиць істинності. Виконання індивідуальних завдань.
Технічне забезпечення:	Персональний комп’ютер
Програмне забезпечення:	Windows XP/7, навчальна програмна система «Булева алгебра»
Час:	80 хвилин.

Теоретичною основою комп’ютерної схемотехніки є алгебра логіки – наука, яка використовує математичні методи для розв’язання логічних задач. Алгебру логіки називають булевою на честь англійського математика Дж. Буля, який вніс найбільший вклад у розвиток цієї науки.

Основним предметом булевої алгебри є висловлювання – просте твердження, про яке можна стверджувати: істинне воно (позначають символом 1) або хибне (позначають символом 0). Зазвичай прості висловлювання позначають буквами, наприклад, , які у комп’ютерній схемотехніці називають змінним (аргументами). За допомогою логічних зв’язок НІ, АБО, І, ЯКЩО… ТО… будуть висловлювання, які називають булевими (логічними) функціями і позначають буквами F, L, K, M, P та ін.

У даний час головна задача алгебри логіки – аналіз, синтез і структурне моделювання будь-яких дискретних скінчених систем. Апарат булевої алгебри поширюється на об’єкти найрізноманітнішої природи безвідносно до їхньої суті, тільки б вони характеризувалися двома значеннями або станами: контакт увімкнений або вимкнений, наявність високого чи низького рівня електричної напруги, виконання або невиконання деякої умови та роботи та ін.

Використання апарата алгебри логіки ву комп’ютерній схемотехніці засноване на тому, що цифрові елементи характеризуються двома станами і через це можуть бути описані булевими функціями. Стандарт ДСТУ 2533-94 «Арифметичні і логічні операції. Терміни і визначення» конкретизувати основні поняття булевої алгебри в системах оброблення інформації.

Змінну із скінченим числом значень (станів) називають перемикальною, а з двома значеннями – булевою. Функція, яка має як і кожна її змінна скінчене число значень, називається перемикальною (логічною). Логічна функція, число можливих значень якої і кожної її незалежної змінної дорівнює двом, є булевою. Таким чином, булева функція – це окремий випадок перемикальної.

Операція – це чітко визначена дія над одним або декількома операндами, яка створює новий об’єкт (результат). У булевій операції операнди і результат набувають «булевого значення 1» (далі просто значення 1) і «булевого значення 0» (далі просто значення 0). Булеву операцію над одним операндом називають одномісною, над двома – двомісною і т. д.

Булеві функції можуть залежати від однієї, двох і в цілому від n змінних. Запис означає, що деяка булева функція залежить від змінних . Основними булевими операціями є заперечення (операція НІ, інверсія), диз’юнкція (операція АБО, логічне додавання, об’єднання) і кон’юнкція (операція І, логічне множення).

Заперечення – це одномісна булева операція (читається «не »), результатом якої є значення, протилежне значенню операнда.

Диз’юнкція – це булева операція (читається « або »), результатом якої є значення нуль тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають значення нуль.

Кон’юнкція – це булева операція (читається “ і ”), результатом якої є значення одиниця тоді і тільки тоді, коли значення кожного операнда дорівнює одиниці. У виразі крапку можна опускати; часто застосовують запис або .

Операції заперечення, диз’юнкції і кон’юнкції можна задати за допомогою таблиць істинності (табл. 1 і 2), у яких зліва подані значення операндів, а справа – значення булевої функції.

Таблиця 1 Таблиця істинності операції заперечення

Таблиця 2 Таблиця істинності операції диз’юнкції та кон’юнкції

В табл. 2. булеві функції АБО, І задані для двох змінних , _.

Для булевих операцій заперечення, диз’юнкції справедливі такі закони, властивості й тотожності:

а) комутативність (переміщувальний закон): ; ; (рисунок 1)

Рисунок 1 Двоїсті співвідношення закону комутативності

б) асоціативність (сполучений закон): ; ; (рисунок 2)

Рисунок 2 Двоїсті співвідношення закону асоціативності

в) дистрибутивність (розподільний закон): ; ; (рисунок 3)

Рисунок 3 Двоїсті співвідношення закону дистрибутивності

г) ідемпотентність (включення повторення): ; ;(рисунок4)

Рисунок 4 Двоїсті співвідношення закону ідемпотентності

д) закон поглинання: ; ; (рисунок 5)

Рисунок 5 Двоїсті співвідношення закону поглинання

е) закон склеювання: ; ; (рисунок 6)

Рисунок 6 Двоїсті співвідношення закону склеювання

ж) закон де Моргана: ; ; (рисунок 7)

Рисунок 7 Двоїсті співвідношення закону де Моргана

з) властивості заперечення і констант: ; ; ; ; ; ; ; ; ;

и) тотожності: ; .

Справедливість наведених законів булевї алгебри перевіряється підстановкою в логічний вираз нуля і одиниці, як показано в табл. 3 для формули _.

Таблиця 3 Таблиця істинності для формули

Областю визначення булевої функції є скінченна множина різних двійкових наборів довжиною n, на кожному з яких указується значення функції нуль або одиниця. Кількість різноманітних двійкових наборів дорівнює множині n-розрядних двійкових чисел . Наприклад, для функції двох змінних і є чотири двійкових набори: <0,0>; <0,1>; <1,0>; <1,1>.

Часто набори нумеруються десятковими еквівалентами двійкових чисел від нуля до . Наприклад, для , набори <0,1,0,1>; <1,0,0,1> мають відповідно номери 5 і 9. Дві функції відрізняються одна від одної, якщо їхні значення будуть різними хоч би на одному наборі. Число різноманітних булевих функцій від n змінних дорівнює , де .

Довільну булеву функцію можна задавати різними способами: словесним описом, часовими діаграмами, геометричними фігурами, графами, таблицями істинності та аналітичними виразами.

Словесний опис деякої булевої функції можна представити так: при і , якщо . Таку функцію можна зобразити часовою діаграмою (рисунок 8, а) або геометричною за допомогою двовимірного куба (рисунок 8, б), якому точки виділені одиничні вершини (дана функція набуває значення одиниці при наборі <1,1>), а також графом, де вершини відображають значення нуля і одиниці, а на орієнтованих дугах змінні вказують на умови переходів (рисунок 8 в).

Рисунок 8 Способи задання булевих функцій

За допомогою таблиць істинності показують усі можливі функції однієї змінної (усього чотири функції) і двох змінних (усього 16 функцій). Для n=3 число можливих булевих функцій дорівнює 256, для їхня кількість - 2¹⁶=65536.

Булеві функції однієї змінної подані в табл. 4. Як бачимо, з чотирьох булевих функцій практичний інтерес викликає тільки операція заперечення . Всі 16 булевих функцій двох змінних , наведені в табл. 5.

Таблиця 4 Булеві функції однієї змінної

		Вираз	Назва операції
				Константа 0
				Повторення X
				Заперечення X
				Константа 1

Як випливає з табл. 5, функцій і – константи, і – повторюють, а і – заперечують одну із змінних, і – кон’юнкція і диз’юнкція, які розглянуті раніше. До нових булевих функцій (операцій) відносяться такі:

Виключення (заборона)– двомісна булева операція, результатом якої є значення «1» тоді і тільки тоді, коли значення одного операнда дорівнює одиниці, а іншого – нулю. Записується у вигляді: або .

Сума за модулем два(виключне АБО, заперечення еквівалентності)– двомісна булева операція, результатом якої є значення одиниця тоді і тільки тоді, коли операнди мають різні значення. Позначається у вигляді: .

Таблиця 5 16 булевих функцій F₀-F₁₅ двох змінних X₁, X₂

0011	Вираз	Назва операції
0101
			Константа 0
			Кон’юнкція
			Заборона по X2
			Повторення X1
			Заборона по X1
			Повторення X2
			Сума за модулем 2
			Диз’юнкція
			Заперечення диз’юнкції
			Еквівалентність
			Заперечення X2
			Імплікація від X2 до X1
			Заперечення X1
			Імплікація від X1 до X2
			Заперечення кон’юнкції
			Константа 1

Заперечення диз’юнкції(операція АБО-НІ, стрілка Пірса) – двомісна булева операція, результатом якої є значення одиниця тоді і тільки тоді, коли обидва операнди дорівнюють нулю. Позначається у вигляді: .

Узагальнюючи для n змінних, маємо: .

Еквівалентність (включення) – двомісна булева операція, результатом якої є значення одиниця тоді і тільки тоді, коли операнди набувають однакових значень. Позначається у вигляді: .

Імплікація (включення) – двомісна булева операція, результатом якої є значення нуль тоді і тільки тоді, коли значення одного з операндів дорівнює нулю, а іншого – одиниці. Позначається у вигляді: ; .

Заперечення кон’юнкції(операція І-НІ, штрих Шефера,доповнення до перерізу) - булева операція, результат якої дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли обидва операнди дорівнюють одиниці. Позначається у вигляді: . Узагальнюючи для n змінних, маємо: .

Булеві функції одного і двох аргументів називають елементарними. Схему, яка здійснює елементарну логічну операцію, називають логічним елементом (вентилем).Сукупність взаємозалежних логічних елементів з формальними методами опису називається логічною схемою.

Назви і умовні графічні позначення основних логічних елементів, які застосовуються в комп’ютерній схемотехніці, наведені в табл. 6. Значення змінних (операндів) відображаються електричними сигналами з двома чітко вираженими рівнями значень.

Таблиця 6 Назви і умовні графічні позначення основних логічних елементів

Назва операції	Назва елемента	Умовне графічне позначення
Заперечення	НІ
Диз’юнкція	АБО
Кон’юнкція	І

Продовження таблиці 2.1.1.6
Назва операції	Назва елемента	Умовне графічне позначення
Заперечення диз’юнкції	АБО-НІ
Заперечення кон’юнкції	І-НІ
Заперечення еквівалентності	Виключне АБО
Еквівалентність	Еквівалентність
Імплікація	ЯКЩО…, ТО…
Заборона	Заборона

За допомогою суперпозицій, тобто підстановки в логічні формули замість змінних деяких інших булевих виразів, можна одержати складніші функції будь-якого числа змінних, наприклад; ; ; ; .

Однією з інтерпретацій булевих операцій є схеми, які складаються з ключів, джерела напруги Е і лампочки Л. Для реалізації операції диз’юнкції двох змінних і використовують два паралельно з’єднаних нормально розімкнутих ключі (рисунок 9, а).

Рисунок 9 Інтерпретація булевих операцій: а –диз’юнкція; б – кон’юнкція; в- заперечення.

При натисканні будь-якого ключа ( або ) або обох разом лампочка горить (значення 1). Для реалізації операції кон’юнкції двох змінних і застосовують два послідовно з’єднаних нормально розімкнутих ключі (рисунок 9, б). При натисканні одночасно обох ключів () лампочка горить (значення 1). Для реалізації операції заперечення застосовують нормально замкнутий ключ (рисунок 9, в). При ключ замкнутий і лампочка горить; при ключ розмикається і лампочка не горить.

Порядок виконання роботи

1. Завантажте програму «Булева алгебра».

Для запуску програми необхідно натиснути ENTER на файлі Булева алгебра.exe, або двічі клацнути лівою кнопкою миші по цьому файлу. Результатом виконання програми буде виведення головного вікна (рис. 10),

Рисунок 10 Головне вікно

де користувачеві буде запропонований вибір перейти до законів булевої алгебри або до логічних елементів. При виборі логічних елементів, з’явиться їх перелік (рис. 11)

Рисунок 11 Перелік логічних елементів

і можна буде перейди до будь-якого з них на вибір користувача. З вікна відкритого логічного елемента (рис. 12)

Рисунок 12 Вікно логічного елемента «Якщо…, то…»

є можливість швидко перейти до будь-якого іншого логічного елемента (рис. 13), за допомогою кнопки меню «Схема»,

Рисунок 13 Вибір логічного елемента з вікна елемента «Якщо…, то…»

або ж перейти до головного вікна (рис. 14) – Вікно Головне вікно.

Рисунок 14 Перехід у головне вікно з вікна елемента «Якщо…, то…»

Після вибору у головному вікні законів булевої алгебри, відкриється вікно з переліком законів (рис. 15), де можна вибрати зі списку один з них.

Рисунок 15 Перелік законів булевої алгебри

З відкритого вікна одного із законів (рис. 16), можна перейти на двоїсті співвідношення

Рисунок 16 Вікно закону асоціативності

цього закону, на один із інших законів (рис. 17) або у головне вікно.

Рисунок 17 Перехід до іншого закону з вікна закону асоціативності

Перехід до головного вікна виконується таким же чином, як у вікнах логічних елементів З вікна двоїстих співвідношень можна перейти до головного вікна, або до іншого закону булевої алгебри, але не можна швидко перейти до двоїстих співвідношень іншого закону.

2. Ознайомтесь з логічними елементами, їх таблицями істинності та часовими діаграмами.

3. Дослідіть дію логічних елементів на різних наборах значень змінних. Проведіть спостереження за залежністю часової діаграми від значень поданих та отриманого сигналів.

4. Занотуйте результати досліджень.

5. Зверніться до викладача за індивідуальним завданням.

6. Підготуйте звіт відповідно до встановленого зразка.

Контрольні запитання.

1. Відтворіть таблиці відповідності основних логічних елементів.

2. Дайте означення основним логічним елементам.