Булевы функции

Функция , у которой аргументы пробегают множество {0,1} и которая принимает значение из того же множества {0,1}, называется функцией алгебры логики или булевой функцией.

Особое значение имеют так называемые элементарные булевы функции. Двухместными элементарными булевыми функциями являются конъюнкция, дизъюнкция, импликация, сумма по модулю 2, эквиваленция, штрих Шеффера и стрелка Пирса. Символы А и B из табл. 4.2 следует в этом случае толковать как булевы переменные {0,1}.

Имеются две одноместные булевы функции, зависящие от x: тождественная функция и отрицание . Это элементарные функции (табл. 4.3).

Таблица 4.3

x

Имеются две нуль-местные элементарные булевы функции: это константы 0 и 1. Каждой пропозициональной формуле можно сопоставить булеву функцию. Булева функция , сопоставленная пропозициональной формуле A, называется функцией истинности формулы A. Любую такую функцию можно описать с помощью соответствующей таблицы истинности (примеры – табл. 4.3, табл. 4.4, табл. 4.5).

Пусть и – функции истинности формул P и Q; пусть { } – множество тех переменных, которые встречаются хотя бы в одной из функций и . Пропозициональные формулы P и Q называются эквивалентными, если на всяком наборе () значений переменных значения функций и совпадают (эквивалентность обозначают как: P Q).

Пример 4.3. Покажем эквивалентность выражений

P A B и Q A B.

Для этого построим таблицу истинности (табл. 4.4).

Таблица 4.4

A	B	(A, B) P A B	(A, B) Q A B

Поскольку (A, B) = (A, B), то P Q.

Пример 4.4. Покажем эквивалентность выражений

P A (B C) и Q (A B) (A C).

Для этого снова построим таблицу истинности (табл. 4.5).

Таблица 4.5

A	B	C	(A, B, C) P A (B C)	(A, B, C) Q (A B) (A C)

Поскольку (A, B, C) = (A, B, C), то P Q. Как можно видеть, в примере 4.3 используются двухместные функции истинности, а в примере 4.4 – трехместные.

Основные эквивалентности:

A A – правило снятия двойного отрицания;

A A A – идемпотентность конъюнкции;

A A A– идемпотентность дизъюнкции;

A*B B*A – коммутативность связки * (символ * является общим

обозначением для связок: , , );

(A*B)*C A*(B*C) – ассоциативность связки *;

A (B C) (A B) (A C) – дистрибутивность («distributivus» – распределительный) конъюнкции относительно дизъюнкции;

A (B C) (A B) (A C) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции;

(A B) A B и (A B) A B – законы де Моргана;

A (A B) A и A (A B) A – законы поглощения;

A ( A B) A B и A ( A B) A B;

A B A B;

(A B) (A B) ( A B);

A A False – закон противоречия;

A A True – закон исключенного третьего;

A True A;

A True True;

A False False;

A False A;