Решение типовых задач. Пример 1.Установите, какие из следующих предложений являются высказываниями

Пример 1. Установите, какие из следующих предложений являются высказываниями.

1) Какая прекрасная погода!

2) Великий Новгород стоит на Волхове.

Решение.

Предложение 1 не является высказыванием, а предложение 2 является.

Пример 2. Сформулируйте отрицания следующих высказываний, укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний.

1) Карась не рыба.

2) Река Волхов вытекает из озера Ильмень.

Решение.

Высказывание 1) является ложным, его отрицанием будет высказывание «Неверно, что карась не рыба», которое является истинным.

Высказывание 2) истинно, его отрицанием будет высказывание «Река Волхов не вытекает из озера Ильмень», которое является ложным.

Пример 3.

Дано:

1. Имена «Оля», «Коля», «Саша», «Поля».

2. Действия: «шить», «возить», «гулять», «танцевать».

Введём сокращения следующим образом: по первой букве имени и действия обозначаем ситуацию, когда человек А выполняет действие Б: АБ. Например: ОШ обозначает ситуацию «Оля шьёт», СВ – «Саша возит», и т.д.

Задание: Представьте с помощью введённых сокращений и связок логики высказываний следующие сложные ситуации.

1. Неверно, что Оля шьёт или Саша не возит.

2. Саша или Поля гуляют тогда и только тогда, когда Коля танцует.

Решение.

1.

2.

Пример 4.

Определите значения истинности высказываний a, b, если высказывание 1 истинно, а высказывание 2 ложно:

1. Если 4 чётное число, то a.

2. b & (2*2=4).

Решение.

1. Импликация двух высказываний есть ложное высказывание лишь в

единственном случае, когда посылка истинна, а заключение ложно. В данном случае посылка «4 – чётное число» истина, и по условию всё высказывание также истинно. Поэтому заключение a ложным быть не может, т.е. высказывание a истинно.

2. Конъюнкция высказываний есть ложное высказывание в случае, когда, по меньшей мере, одно из входящих в конъюнкцию составляющих высказываний (членов конъюнкции) ложно. В нашем случае второе составляющее высказывание «2*2=4» истинно, а конъюнкция двух высказываний ложна. Поэтому первое составляющее высказывание b ложно.

Пример 5. Определите логическое значение каждого высказывания, исходя из логических значений всех предыдущих высказываний.

1. =1, =1, =?

2. =1, =?

Решение.

1. Из первого условия =1 заключаем, что невозможна ситуация, когда =1, а =0, т.е. =0 и при этом =1. Второе условие исключает ситуацию, при которой =1 и =0. Следовательно, высказывания и имеют одинаковые значения истинности. Значит, одинаковые значения истинности имеют и их отрицания и . А раз так, то высказывание будет истинным.

2. Из условия =1 следует, что и имеют одинаковые значения истинности. Тогда одинаковые значения истинности имеют и их отрицания и . Значит обе импликации и истинны. Следовательно, истинна и конъюнкция двух последних высказываний.

Пример 6. Определить, является ли последовательность символов формулой.

1. .

2. .

Решение.

1. Данная последовательность не является формулой, т.к. переменные p и q являются формулами, а последовательность формулой не будет, так как знак конъюнкции не соединяет никакие две формулы.

2. Переменные p, q и r являются формулами и выражения будут формулами. Далее, формулами будут выражения , .

Пример 7 Составить таблицу истинности для формулы ( & ) ( ).

Решение. Таблица истинности будет иметь вид:

Таблица 3

			&		( & )( )

Пример 8. Записать высказывания в виде логических функций и построить для них таблицы истинности:

1. (a или не b) или не (a и c).

2. не ((a и c) и (b или c)).

Решение. 1.

Таблица истинности:

a	b	c

2.

Таблица истинности: