Средний уклон линий профиля

В некоторых случаях (главным образом при использовании карт в проектировании) различаются положительный и отрицательный уклоны. В этих случаях при определении уклона будет иметь место компенсация положительных и отрицательных значений, что приведет к неверной оценке среднего уклона как морфометрического показателя. Поэтому в морфометрии в качестве характеристики уклона рассматривается его абсолютная величина.

Принимая, как и ранее, Н функцией , частный уклон в точке М можно определить как отношение бесконечно малого приращения высоты, взятого по абсолютной величине, к соответствующему приращению горизонтального положения.

Принимая уклон также функцией для его среднего интегрального значения на отрезке профиля, получим:

С учетом (1) получим:

Величина определенного интеграла здесь есть изменение функции на отрезке .

В геометрическом смысле эта величина (изменение функции) представляет собой сумму абсолютных приращений функции между соседними экстремумами профиля, включая и точки A и В. На рисунке изменение функции на отрезке профиля равно сумме отрезков ΔН₁, ΔН₂, ΔН₃, ΔH₄ , которые представляют разность высот соседних экстремумов. Таким образом, формула (3) может быть представлена в следующем виде:

Где нулевой номер присвоен высоте точки A, а П-й – высоте точки B.

Здесь мы видим, что для того, чтобы произвести расчеты по формуле (4) достаточно снять с карты последовательно высоты экстремальных точек и определить длину самой линии.

Рассмотрим профиль АВ с нанесенными следами плоскостей горизонталей постоянного сечения h

Превышение между соседними экстремумами определяется как

где - число следов горизонталей, пересеченных линией профиля между двумя его экстремумами;

δ₁ и δ₂ - расстояния от экстремумов до ближайших плоскостей горизонталей, заключенных в промежутке между экстремумами.

Расстояние δ₁ и δ₂ можно не измерять, то тогда нужно учесть их как математические ожидания случайных величин, равномерно распределенных на отрезке от О до h, т.е. таких, которые с равной вероятностью могут принимать любые значения на этом отрезке.

Из теории вероятности известно, что для этого закона распределения математическое ожидание случайной величины = h/2. Заменив δ₁ и δ₂ в формуле (5) на это значение, получим:

И тогда формула (4) приобретет следующий вид:

Или

Где t - общее число пересечений линий профиля с горизонталями основного сечения рельефа.

Как видно, для расчета по формуле достаточно подсчитать (по карте) число горизонталей основного сечения, пересекаемого линией, и определить ее длину.