б) число перестановок формулою

= - наслідок з (2).

Наслідок 3. Нехай множина М складається з двох елементів а і b. Тоді число перестановок з n елементів, в яких елемент а повторюється n-m разів, а елемент b повторюється m разів, дорівнює

= .

Отже, число комбінацій з n елементів по m дорівнює числу перестановок з повтореннями складу (n-m,m).

Приклад.1. Скількома способами можна вибрати з 20 осіб делегацію в складі 4 осіб?

Розв'язання. Різними вважатимемо ті делегації, які відрізняються хоча б одним членом. Кількість способів вибрати з 20 осіб делегацію в складі 4 осіб дорівнює числу комбінацій з 20 елементів по 4:

=

Відповідь. 4845.

Приклад. Скількома способами збори акціонерів з 100 осіб можуть обрати президію з 5 осіб, у тому числі голову і секретаря?

Роз’язання:

1 спосіб. Кількість способів обрання голови і секретаря з 100 осіб дорівнює числу розміщень з 100 по 2 без повторень, тобто:

Кількість способів обрання ще трьох членів президії дорівнює числу сполучень з 98 осіб по три, тобто:

Всього кількість способів обрання президії дорівнює добутку

2 спосіб. Кількість способів обрання президії з 5 осіб на зборах, де присутні100, осіб дорівнює числу сполучень з 100 по 5 без повторень, тобто:

Потім президія з 5 осіб обирає з свого складу голову і секретаря. Кількість способів обрання голови і секретаря з 5 осіб дорівнює числу розміщень з 5 по 2 без повторень, тобто:

Всього кількість способів обрання президії дорівнює добутку

Відповідь.

Означення. С полученням з повтореннями з n елементів по m елементів називається будь-який m-елементний набір виду (а₁,а₂,…,а_m), де кожний з елементів а₁,а₂,…,а_m належить до одного з n типів.

З означення випливає, що сполучення з повтореннями є не впо-рядкованими множинами, тому розташування елементів в набо­рах-множинах не має значення. Різні комбінації з повтореннями відрізняються одна від одної елементами, що до них входять, при цьому кожний елемент може входити в комбінацію декілька разів. Тому для сполучень з повтореннями може бути як m £n, так i n<m, на відміну від сполучень без повторень, де завжди m£п.

Наприклад, з двох елементів а і b можна скласти такі комбі­нації з повтореннями з двох елементів по три елементи (n<m):

ааa, ааb, bbа, bbb,

а з трьох елементів а, b, с по два елементи (n>m) такі:

аа, аb, ас, bb, bс, сс.

Оскільки комбінації з повтореннями є неупорядкованими мно­жинами, то кожна така комбінація однозначно визначається тим, скільки елементів кожного типу в неї входить.

Наприклад, якщо маємо елементи трьох сортів, то комбінація з повтореннями з трьох елементів по п'ять елементів повністю визначається, якщо вказано, що вона містить два елементи першого типу, не містить жодного елемента другого типу і містить три елементи третього типу. Таку комбінацію можна умовно записати так (2,0,3); з цього запису видно, скільки елементів кожного ти­пу входить в дану комбінацію. Запис іншої комбінації (1,2,2) по­казує, що в цю комбінацію входить один елемент першого типу і по два елементи другого і третього типів. Відмітимо, що в даному випадку кожна комбінація складається з п'яти елементів, що є су­мою всіх елементів, що входять у комбінацію.

Кількість усіх комбінацій з n елементів по m елементів з повтореннями будемо позначати символом . Для його знаходження користуються такою теоремою.

Теорема 8. Число різних можливих сполучень з повтореннями і з n елементів по m елементів при довільних натуральних n іm об­числюється за формулою

(1)

Доведення. Сполучення з повтореннями з n елементів по m елементів можна записати, користуючись тільки цифрами 0 і 1. Це можна зробити так: спочатку запишемо стільки одиниць, скільки елементів першого типу входить у комбінацію, потім напишемо нуль, після нього напишемо стільки одиниць, скільки елементів другого типу входить у комбінацію, потім знову нуль і т.д., тоб­то нуль ставиться між двома групами одиниць елементів двох різних типів. Якщо елементи якого не будь типу зовсім не входять у дану комбінацію, то пишемо підряд два нулі. Наприклад, якщо розгляда­ються комбінації з чотирьох елементів а, b, с, d по шість, то запис (100110111) відповідає такій комбінації {а,с,с,d,d,d}, а запис (110111001) зображує таку комбінацію {а,c,c,d,d,d}.

Впорядкована множина, складена з одиниць і нулів, відповід­на сполученню з повтореннями з n елементів по m елементів, буде мати рівно m одиниць і n-1 нулів, бо кількість одиниць дорівнює числу елементів у сполученні, а число нулів на одиницю менше числа типів елементів, оскільки нуль вживається лише для розділення типів елементів. Тому мiж так утвореними впорядкованими множинами з нулів та одиниць i сполученнями з повтореннями вста­новлюється взаємно однозначна відповідність. Але оскільки кожна така впорядкована множина складається з m одиниць і n-1 нулів,. то кількість усіх сполучень з повтореннями з n елементів по m елементів дорівнюй кількості різних способів упорядкування (n+m-1)-елементної множини, що містить m одиниць і n-1 нулів, тобто

= =

Наслідок. Якщо зіставити одержану формулу з формулою сполучень без повторень з n+m-1 елементів по n-1 елементу, тобто з формулою

=

то побачимо, що праві частини цих формул однакові, тому

= = = = (2)

Отже, число сполучень з повтореннями з n елементів по m елементів дорівнює числу сполучень без повторень з n+m-1 елементів по n-1 елементів.

Приклад 1. У поштовому відділенні продаються листівки 8 різних видів. Скількома способами можна купити в ньому 10 листівок?

Розв'язання.Оскільки порядок покупки листівок не істотний, а купити їх не можна всі різними (10>8), то маємо сполучення з повтореннями з 8 елементів по 10 елементів. Число їх дорівнює

=

Відповідь. 19448.

Приклад 2.Шість пасажирів сідають на вокзалі в електропотяг, який складається з5 вагонів. Скільки можливих способів посадки пасажирів у вагони, якщо істотним є лише кількість пасажирів?

Розв’язання. Тут маємо сполучення з повтореннями з 5 елементів по 6. Число їх дорівнює

=

Відповідь. 210.

Схема розв¢язання комбінаторних задач

Вибір правила

Правило суми	Правило добутку
Якщо елемент А можна вибрати m способами, а після цього елемент В – n способами, тобто А або В можна вибрати (m+n) способами	Якщо елемент А можна вибрати n способами, а елемент В – n способами, то А і В можна вибрати (mn) способами

Вибір формули

Варіанти індивідуальних завдань

Варіант 1

1. Розклад одного дня містить 4 різних пари. Знайти кількість можливих розкладів, якщо вивчається 9 дисциплін.

2. На зборах акціонерів повинні виступати п¢ять осіб: Іваненко, Петренко, Сидоренко, Авраменко, Борисенко, до того ж Авраменко не повинен виступати безпосередньо перед Борисенко. Скількома способами можна скласти список цих виступаючих?

3. Для контролю діяльності філіалів регулярно у відрядження повинні виїздити групи у складі кожної один менеджер і один бухгалтер. Скількома способами можна скласти 5 таких груп, якщо у фірми 15 менеджерів і 10 бухгалтерів?

4. Скільки існує різних телефонних номерів, якщо вважати, що кожний номер має не більше сіми цифр (телефонний номер може починатись і з нуля)?

5. Скільки п¢ятицифрових кодів можна скласти з з цифр 2 і 3 якщо цифра 2 повторюється три рази, а цифра 3 – два рази?

6. У поштовому відділенні продаються листівки 8 різних видів. Скількома способами можна купити в ньому 10 листівок?

Варіант 2

1. До студенської ради вибрано 7 осіб. З них потрібно голову і заступника. Скількома способами це можна зробити?

2. На зборах акціонерів повинні виступати п¢ять осіб: Іваненко, Петренко, Сидоренко, Авраменко, Борисенко. Скількома способами можна скласти список цих виступаючих, якщо Авраменко повинен виступити безпосередньо перед Борисенко?

3. У фірмі 25 співробітників. Скількома способами можна скласти правління фірми, якщо воно повинно складатися з 5 осіб?

4. Шість ящиків різних товарів треба доставити у 8 магазинів. Скількома способами можна розподілити ці ящики між магазинами, якщо у перший магазин буде доставлено не менше двох ящиків?

5. Чотири фірми треба привітати з святом. Купили 4 по дві однакові листівки. Скількома способами можна їх розіслати?

6. У кафе є морозиво трьох сортів. Скількома способами можна купити 6 порцій морозива?

Варіант 3

1. У правлінні фірми 7 осіб, треба обрати голову і заступника. Скількома способами це можна зробити?

2. Скільки різних списків з семи студентів, при яких три певних студента знаходяться поряд?

3. В одного студента є 6 різних книг, у другого – 5 інших різних книг. Скількома способами вони можуть обмінятися трьома книгами?

4. Шість ящиків різних товарів треба завезти у 5 магазинів. Скількома способами можна розподілити ящики по магазинах, якщо у п¢ятий магазин треба завезти тільки один будь-який ящик?

5. Абонент пам¢ятає, що потрібний йому шестицифровий номер телефону починається з цифри 3 і містить три п¢ятірки і дві дев¢ятки. Проте, розташування цифр він не пам¢ятає. Скільки спроб повинен зробити абонент, щоб набрати потрібний номер?

6. Скількома способами можна надати присадибні ділянки у вигляді прямокутників, Якщо довжина кожної сторони є цілим числом від 4 до 10 м?

Варіант 4

1. Правління ЗАТ складається з 9 осіб. Скільки можна скласти варіантів обрання з їх числа трьох керівників – президента, директора, та комерційного директора?

2. Скільки різних п¢ятицифрових кодів можна дістати з цифр 2, 4, 6, 7, 8, якщо цифри у коді не повторюються і цифра 7 стоїть у всіх варіантах перед цифрою 8?

3. У філії банку працюють 15 співробітників, троє з яких не мають потрібної кваліфікації. Скільки можна скласти списків по 6 кваліфікованих співробітників?

4. Скільки чотирицифрових кодів можна одержати, використовуючи цифри 4, 2, 0 якщо цифри у коді можуть повторюватися, а сам код – це чотирицифрове число?

5. Треба скласти розклад відправлення поїздів на різні дні тижня. При цьому необхідно, щоб 3 дні відправлялися 2 поїзди в день, 2 дні – по 3 поїзди в день, 2 дні – по одному поїзду в день. Скільки можна скласти розкладів руху поїздів?

6. Шість пасажирів сідає на зупинці в трамвайний поїзд, який складається з трьох трамвайних вагонів. Скільки можливих способів посадки пасажирів у вагони, якщо істотною є лише кількість пасажирів?

Варіант 5

1. Студенту треба скласти 4 екзамени на протязі 10 днів. Скількома способами він це може зробити, якщо відомо, що перший екзамен він складає в перший день, а останній – в останній день і в один день він складає не більше одного екзамену?

2. Скількома способами можна скласти розклад чотирьох пар на день з різних чотирьох предметів?

3. У підрозділі 5 сержантів і 50 солдат. Скількома способами можна скласти наряд з одного сержанта і трьох солдат?

4. Замок відкривається тільки у тому випадку, коли набрано певний чотирицифровий код з 10 цифр. Спроба полягає в тому, що набирають довільні чотири цифри. Вірний номер вдалося набрати лише в останній з усіх можливих спроб. Скільки спроб було перед вдалою?

5. Чотири автори пишуть навчальний посібник з восьми розділів. Скількома способами можна розподілити розділи між авторами, якщо один автор пише три розділи, два інші по два розділи, а четвертий пише один розділ?

6. У кондитерській є 6 різних сортів тістечок і 3 різні сорти морозива. Скількома способами можна купити 8 тістечок і 2 морозива?

Варіант 6

1. Яка частина з 10⁵ п¢ятицифрових телефонних номерів складається з п¢яти різних цифр?

2. До каси за одержанням зарплати підійшли одночасно 4 людини. Скількома способами вони можуть створити чергу?

3. З бригади, яка складається з 15 дівчат, треба виділити ланку з однією лановою і чотирма членами ланки. Скількома способами це можна зробити?

4. Старий автомобільний номер складався з трьох букв та чотирьох цифр. Знайти кількість усіх можливих номерів, якщо використовується 32 літери української абетки?

5. Скільки різних “слів” (у тому числі беззмістовних) можна утворити з слова “математика”?

6. У магазині є зошити п¢яти сортів, олівці 4 сортів і циркулі двох сортів. Скількома способами можна придбати 20 зошитів, 3 олівці і один циркуль?

Варіант 6.

1. Яка частина з 10⁵ п'ятицифрових телефонних номерів складається з п'яти різних цифр?

2. Скільки п'ятицифрових чисел, цифри в яких не повторюються, можна скласти з цифр 0, 2, 4, 6, 8?

3. З бригади, яка складається з 15дівчат, треба виділити ланку з однією ланковою і чотирма членами ланки. Скількома способами це можна зробити?

4. Скількома способами можна скласти букет з п'яти однакових або різних квіток, якщо є 6 різних сортів квітів?

5. Чотири автори пишуть навчальний посібник з восьми розділів. Скількома способами можна розподілити розділи між авторами, якщо один автор пише три розділи, два інші по два розділи, а четвертий пише один розділ?

6. Шість пасажирів сідає на зупинці в трамвайний поїзд, який складається з трьох трамвайних вагонів. Скільки можливих способів посадки пасажирів у вагони, якщо істотним є лише кількість пасажирів?

Варіант 7.

1. Із скількох різних предметів можна скласти 210 розміщень по два різні елементи в кожному?

2. Скільки шестицифрових кодів, кратних п'яти, можна скласти з цифр 9, 8, 7, 6, 5, 4 при умові, що цифри у коді не повторюються?

3. Із 10 ірисів і 8 лілій треба скласти букет з трьох ірисів і двох лілій. Скількома способами це можна зробити?

4. Скількома способами можна оббити 3 стільці, якщо п'ять видів оббивки?

5. На протязі 20 днів студент брав у інститут або одне яблуко, або одну грушу, або один апельсин. Скільки різних варіантів ленчу могло бути, якщо було 8 яблук, 7 груш і 5 апельсинів?

6. На біржі є 6 різних видів акцій. Скількома способами можна придбати 8 акцій?

Варіант 8.

1. Скільки трицифрових чисел, у яких цифри не повторюються, можна одержати з цифр 0, 1, 3, 5, 4, 8? Скільки з них: а) парних, б) непарних?

2. На книковій полиці стоїть збірка творів з 20 томів. Скількома різними способами їх можна переставити, щоб:

а) томи 1, 2, 3 стояли поряд;

б) томи 4, 5 поряд не стояли?

3. У фірмі 12 маркетологів і 15 менеджерів. Скількома способами можна вибрати з них команд для створення філії, в яку входить три менеджери і 2 маркетологи?

4. Скількома способами можна оббити 5 різних стільців, якщо є три види оббивки?

5. Скількома способами 10 акцій одного підприємства і 15 акцій іншого можна розділити між п'ятьма особами?

6. У магазині є зошити п'яти сортів, олівці 4 сортів і циркулі двох сортів. Скількома способами можна купити 4 зошити, 5 олівців і три циркулі?

Варіант 9.

1. У тенісному турнірі беруть участь 10 юнаків і 6 дівчат. Скількома способами можна утворити 4 змішані пари?

2. Скільки різних перестановок можна скласти з букв слова "гіпербола"?

3. З 25 студентів академгрупи треба створити команду КВК з 12 осіб, серед яких один керівник і один режисер. Скільки можливих варіантів створення такої команди?

4. Скільки чотирицифрових кодів можна записати цифрами 2, 5, 7, якщо допускається повторення цифр у кодах?

5. Скількома способами можна розділити 40 однакових акцій між 4 акціонерами так, щоб кожний одержав не менше трьох акцій?

6. Десять пасажирів робить посадку в п'ять вагонів поїзда. Скільки можливих способів посадки цих пасажирів у вагони, якщо істотним є лише кількість пасажирів?

Варіант 10.

1. Скільки чотирицифрових чисел, що діляться на 5, можна скласти з цифр 0, 2, 4, 5, 8 так, щоб у кожному числі не повторювались?

2. На колі треба розмістити 10 різнокольорових електроламп. Скільки різних освітлених кілець можна одержати?

3. Збори акціонерів з 60 осіб обирають голову, секретаря і трех членів ревізійної комісії. Скількома способами це можна зробити?

4. Для завезення товару в шість магазинів є три автомашини №1, №2, №3. Скількома способами можна використати ці машини, якщо грузовантажність кожної з них дозволяє взяти товар зразу для всіх магазинів і якщо дві машини в один і той же магазин не посилаються?

5. Скількома способами можна розділити 10 акцій одного підприємства і 19 акцій іншого між чотирма особами, якщо кожна особа отримала хоч би по одній акції першого і принаймні по дві другого?

6. Скільки існує прямокутників, довжини сторін яких можуть набувати значення: 4см, 5см, 6см, 7см?

Варіант 11.

1. З академгрупі з 25 студентів треба обрати старосту, профорга і фізорга. Скількома способами це можна зробити?

2. З цифр 1, 3, 5, 7, 8 складені всі можливі п'ятицифрові коди, в яких цифри не повторюються. З'ясувати, скільки серед цих кодів таких, які починаються цифрою 3?

3. Скільки осіб взяло участь у шаховому турнирі, якщо відомо, що кожний учасник зіграв з кожним іншим по одній партії, а всього було зіграно 153 партії?

4. Ліфт зупиняється на 10 поверхах. Скількома способами можуть вийти з ліфта 8 пасажирів, що знаходяться в кабіні ліфта?

5. Скількома способами можна розділити 40 однакових акцій серед 4 акціонерів?

6. Дванадцять пакетів треба розмістити в 6 однакових ящика. Скількома різними способами це можна зробити при умові, що всі пакети можуть вміститись в одному ящику?

Варіант 12.

1. У змаганнях бере участь 12 команд. Скількома способами можуть бути розділені три призові місця?

2. Між усіма можливими перестановками цифр числа 28364 скільки таких, які закінчуються числом 24?

3. На науковій конференції присутні 75 осіб. Скількома способами можна обрати з них делегацію з п'яти осіб для участі в міжнародному сімпозіумі?

4. П'ять студентів треба розподілити між трьома паралельними групами. Скількома способами це можна зробити?

5. Скількома способами можна покласти в коробку з 10 місцями 3 червоні, 2 сині, 4 зелені і 1 жовтий олівець?

6. Скількома способами можна покласти 6 однакових предметів у 6 ящиків, при умові, що всі предмети можуть вміститись в одному ящику?

Варіант 13.

1. Скількома способами можна призначити чотирьох осіб на чотири різні посади з 9 претендентів на них?

2. Між усіма перестановками цифр числа 21537 скільки таких, які починаються цифрою 1?

3. Скількома способами можна обрати редколегію газети в складі трьох осіб з 27 журналістів?

4. Поїзд метро робить 10 зупинок, на яких виходять всі пасажири, що сіли на першій зупинці. Скількома способами можуть розподілитись між цими зупинками 50 пасажирів, що сіли на початковій зупинці.

5. Скількома способами можна покласти 20 різних предметів у три ящики так, щоб у першому ящику було 8 предметів, у другому - 7 предметів і в третьому - 5 предметів?

6. У вагоні поїзда їдуть 30 пасажирів. Скількома способами можуть вони вийти на 10 зупинках поїзда, якщо враховувати лише кількість пасажирів, що вийшли на кожній зупинці?

Варіант 14

1. По закінченні інституту студенти академгрупи з 30 осіб обмінялися фотокартками. Скільки всього роздано фотокарток?

2. Скільки чотирицифрових чисел, в яких цифри не повторюються, можна записати з цифр 0, 3, 4, 5?

3. Скількома способами можна вибрати 5 троянд з вази, в якій 9 червоних і 6 білих троянд?

4. Кожний з шести користувачів системи Internet пункту А намагається встановити радіозв¢язок з кожним з десяти користувачів системи Internet пункту В. Скільки можливих різних варіантів такого зв¢язку?

5. Скількома способами можна переставити букви у слові “барабан”?

6.У вагоні потягу їдуть 30 пасажирів.Скількома способами вони можуть вийти на 10 зупинках потяга, якщо враховувати лише кількість пасажирів, які вийшли на кожній зупинці?

Варіант 15

1. Скількома способами можна скласти розклад на один день, вибираючи 3 дисципліни з 11, що вивчаються?

2. З цифр 1, 3, 5, 7, 8 складені всі можливі п¢ятицифрові номери телефонів у яких цифри не повторюються. З¢ясувати, скільки серед цих номерів телефонів такіх, які починаються числом 57?

3. З лабораторії, в якій працює 20 осіб, 5 співробітників повинні виїхати у відрядження. Скільки може бути різних складів цієї групи, якщо завідуючий лабораторією, його заступник і головний інженер одночасно їхати у вдрядження не можуть?

4. Два листоноші повинні рознести 10 листів за 10 адресами. Скількома способами можна виконати цю роботу?

5. Скільки семицифрових кодів можна скласти, маючи цифри 4, 6, 7 при умові, що у кожному коді цифра 4 повторюється три рази, а цифри 6 і 7 – по два рази?

6. У магазині є зошити п¢яти сортів. Скількома способами можна купити 8 зошитів?

Варіант 16

1. Із 8 членів студкому необхідно обрати голову студкому, його заступника, секретаря і культорга. Скількома способами це можна зробити?

2. Скільки елементів містить множина, щоб число всіх перестановок з них було: а) не більше як 1000; б) не менше як 500?

3. У групі 17 студентів, з них 8 дівчат. На групу дали 7 квитків на концерт. Скількома способами можна розподілити квитки між студентами групи, якщо на концерт ідуть 4 дівчат?

4. Упродажу є новорічні листівки 6 видів. Скількома способами можна поставити 12 книг на полиці серед яких є 5 книг однієї назви, 4 книги другої назви і 3 книги третьої назви?

5. Скількома способами можна поставити на полиці 12 книг, серед яких є 5 книг однієї назви, 4 книги другої назви і 3 книги третьої назви?

6. Скількома способами можна вибрати чотири монети з 4 п¢ятикопійкових монет і з 4 двокопійкових монет?

Варіант 17.

1. Скільки різних трикольорових та двокольорових прапорів можна змоделювати маючи матерію десяти різних колюрів?

2. З цифр 1, 3, 5, 7, 8 складені всі можливі п'ятицифрові числа, в яких цифри не повторюються. З'ясувати, скільки серед цих чисел таких, які не починаються цифрою 5?

3. На студенському вечері присутні 10 юнаків і 14 дівчат. Скількома способами можна вибрати з них 5 пар для танцю?

4. Нехай букви деякої азбуки утворюються як послідовність точок, тире і пропуск між ними. Скільки різних букв можна утворити якщо користуватись п'ятьма символами?

5. Скількома способами можна посадити за стіл 4 подружні пари так, щоб подружжя сиділи поруч?

6. Скільки всього чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 у кожному з яких цифри розташовані у неспадному порядку?

Варіант 18

1. Скільки трицифрових кодів, в яких цифри не повторюються, можна одержати з цифр 1, 3, 4, 7, 8?

2. На одній книжковій полиці треба розмістити 30 книг, з них 25 книг різних авторів і п'ятитомник одного автора. Скількома способами можна розмістити ці книги на полиці так, щоб книги одного автора стояли поряд?

3. Клавіатура піаніно складається з 88 клавіш. Скільки існує різних акордів з шести нот?

4. Чотири студенти складають екзамен з теорії ймовірностей. Скількома способами можуть бути поставлені їм оцінки, якщо відомо, що ніхто з них не одержав незадовільної оцінки?

5. Скількома способами можна розділити 12 різних акцій між трьома особами так, щоб кожна особа одержала 4 акції?

6. У кондитерський 5 різних сортів тістечок. Скількома способами можна вибрати набір з 4 тістечок?

Варіант 19

1. Скільки трицифрових чисел, в яких цифри не повторюються, можна одержати з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8?

2. На одній книжковій полиці треба розмістити 30 томів так, щоб 1 і 2 томи не стояли поряд. Скількома способами це можна зробити?

3. Сім яблук і три груші треба покласти в два пакети так, щоб у кожному пакеті була хоча б одна груша і щоб кількість фруктів у них була однакова. Скількома способами це можна зробити?

4. В аудиторії є 6 електролампочок. Скільки можливо різних способів освітлення аудиторії?

5. Скількома різними способами можна порівну роздати чотирьом гравцям 28 кісточок доміно?

6. В магазині “Квіти” продають квіти шести сортів. Скільки можна скласти різних букетів з десяти квітів в кожному? (Букети, що відрізняються лише розташуванням квітів, вважаються однаковими)

Варіант 20

1. Скільки чотирицифрових чисел, складених з цифр 0, 1, 3, 4, 5, 6 містять цифру 3, якщо цифра в числах не повторюється?

2. У пасажирському поїзді 12 вагонів. Скількома способами можна розподілити в них 12 провідників, якщо за кожним вагоном закріплювати одного провідника?

3. Скільки можна утворити з простих дільників числа 3570 складених чисел, які мають три прості дільники?

4. Замок відчиняється тільки в тому випадку, коли набрано певний чотирицифровий номер з 10 цифр. Спроба полягає в тому, що набираємо довільні чотири цифри. Вірний номер вдалося набрати лише в останній з усіх можливих спроб. Скільки всього було спроб відчинити замок?

5. Скільки різних чисел можна дістати, переставляючи цифри у числі 1223412?

6. Скільки існує трикутників довжини сторін яких набувають одні з таких значень: 3дм, 4дм, 5дм, 6дм?

Варіант 21

1. Із цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9 складаються всі можливі чотирицифрові числа. Скільки серед них непарних, якщо цифри в числах не повторюються?

2. Скількома способами можна скласти список з 10 осіб, що мають різні прізвища?

3. У групі 25 студентів. Кожен потиснув руку всім іншим. Скільки зроблено рукостискань?

4. Клавіатура піаніно складається з 88 клавіш. Скільки різних музикальних фраз можна скласти з 6 нот, якщо ноти у фразі можуть повторюватись?

5. Скількома способами можна переставити букви у слові “математика”?

6. У магазині є шоколад п¢яти сортів, газована солодка вода 4 сортів і морозиво двох сортів. Скількома способами можна купити 2 плитки шоколаду, 2 пляшки води і 4 морозива?

Варіант 22

1. Скільки трицифрових чисел, у яких цифри не повторюються, можна одержати з цифр 0, 1, 3, 5, 4, 8?

2. У шаховому турнірі беруть участь 9 учасників. Скількома способами можуть бути розділені місця між ними?

3. Волейбольна команда має 12 гравців. Скількома способами тренер може поставити на гру 6 осіб?

4. Скільки абонентів може обслуговувати АТС у місті, де абонентний номер складається з п¢яти цифр?

5. Скількома способами можна розподілити сім молодих спеціалістів по 3 цехам, яким відповідно потрібні один, два, чотири спеціалісти?

6. У кіоску є маркери трьох сортів. Скількома способами можна купити 5 маркерів?

Варіант 23

1. Скільки відсотків з 10⁷ семицифрових телефонних номерів складається з семи різних цифр?

2. Скільки трицифрових чисел, які діляться на 3, можна скласти з цифр 0, 1, 3, 5, 2, 4, якщо цифри у числах не повторюються?

3. Скількома способами можна оформити підписку на чотири видання із запропонованих 9 видань?

4. У селі мешкає не менше 1000 жителів. Довести, що принаймні двоє з них мають однакові ініціали.

5. Скількома способами можна переставити букви у слові “какао”?

6. П¢ятнадцять однакових іграшок треба розмістити в 5 однакових пакетах. Скількома різними способами це можна зробити при умові, що всі іграшки можуть вміститись в одному пакеті?

Варіант 24

1. Маємо числа 3, 5, 7, 11, 13, 19. Скільки можна скласти з них дробів так, щоб у чисельнику і знаменнику кожного дробу було по одному числу?

2. Треба поставити в один ряд гравців двох футбольних команд так, щоб два футболісти однієї команди не стояли поряд. Скількома способами це можна зробити?

3. Скільки варіантів контрольної роботи з теорії ймовірності можна скласти з 10 задач по три у кожному варіанті?

4. Скільки абонентів може обслуговувати АТС у місті, де абонентний номер складається з шести цифр і починається цифрами 95?

5. Скількома способами можна запакувати дев¢ять різних книг у трьох бандеролях відповідно по дві, три, чотири книги в кожній бандеролі?

6. В магазині “Квіти” продають квіти шести сортів. Скільки можна скласти різних букетів з 7 квітів у кожному? (Букети, які відрізняються лише розташуванням квітів, вважаються однаковими)

Варіант 25

1. Скількома способами у відділі з 25 менеджерів можна вибрати двох провідних спеціалістів, один з них повинен бути старшим?

2. Вісім академгруп проводять заняття у восьми розміщених поряд аудиторіях. Скільки існує варіантів розміщення цих груп у даних аудиторіях так, щоб перша, друга і третя групи знаходились у сусідніх аудиторіях?

3. Для проведення екзамену створюється комісія з 2 викладачів. Скільки різних комісій можна створити з п¢яти викладачів?

4. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 4, 5, 7, 8 при умові, що цифри в числах можуть повторюватись?

5. Скількома способами можна скласти колону з десяти автобусів і трьох легкових автомобілів, враховуючи, що всі автобуси і автомобілі однакових марок?

6. В магазині продають цукерки десяти сортів. Скількома способами можна купити набір, що буде складатися з 15 цукерок, якщо цукерок кожного виду є не менше п¢ятнадцяти штук?

Література.

1. Антонов Н.П. и др. Сборник задач по элементарной матема­тике: Пособие для самообразования.-М.:Наука, 1967.-528с.

2. Боровик В.Н., Вивальнюк Л.М., Костарчук В.М., Шефтель З.Г. Математика: Посібник для педінститутів. - К,: Вища школа, 1980.-400с.

3. Боровик В.Н., Вивальнюк Л.М., Мурач М.М., Соколенко 0.І. Курс математики: Навчальний посібник для студентів педінститу­тів. - К.: Вища школа, 1995.- 392с.

4. Вивальнюк Л.М., Шефтель З.Г., Рафаловский Е.В. Математи­ка: Посібник для факультативних занять у 9 класі. -К.: Рад. школа, 1984.- 136с.

5. Виленкин Н.Я. Комбинаторика.- М.: Наука, 1969.-328с.

6. Горделадзе Ш.Г., Кухарчук М.М.. Яремчук Ф.П. Збірник конкурсних задач з математики: Посібник для вступників до вузів. - К.: Вища школа, 1973.-324с.

7. Збірник задач з математики для вступників до вузів. За редакцією М.І.Сканаві.- К.: Вища школа, 1992.-446с.

8. Ігнатенко М.Я., Боровик В.Н. Метод математичної індукції.-Чернігів, 1995.-99с.

Зміст