Види моделювання

Розрізняють фізичне, математичне та комп’ютерне моделювання.

Фізичне моделювання – це моделювання на об’єктах, що мають однакову фізичну природу з об’єктом-оригіналом. Приклад – зменшена копія реального літака, що досліджується у аеродинамічній трубі. Для фізичного моделювання необхідно забезпечити фізичну подібність моделі і об’єкта. Фізична подібність забезпечується лише при рівності всіх однотипних безрозмірних комплексів (критеріїв подібності) у вихідних точках моделі і об’єкта.

Приклад. Критерій (число) Рейнольдса:

, (1)

де V – швидкість течії, L - лінійний розмір, l - кінематична в’язкість середовища. Для забезпечення фізичної подібності реального літака з його зменшеною копією необхідно, щоб критерії подібності Re, обраховані окремо для літака і його моделі були одинакові. Це означає, що для зменшеної в 10 разів моделі літака швидкість течії у гідродинамічній трубі необхідно збільшити в 10 разів, або у 10 разів зменшити в’язкість середовища. Тільки тоді критерій Рейнольдса буде однаковим для літака і моделі, а значить, буде забезпечена фізична подібність цих об’єктів.

Критеріїв подібності є дуже багато. Існують критерії гідродинамічної, теплової, хімічної і т.д. подібності. Зрозуміло, що забезпечити виконання всіх критеріїв дуже складно, а іноді, і неможливо. Однак для адекватності моделі і об’єкта необхідно забезпечити виконання найбільш суттєвих з них, що мають безпосереднє відношення до мети моделювання.

Перевагою фізичного моделювання є наочність – фізична модель наглядно відображає будову та необхідні для розв’язку задачі властивості об’єкта. Недоліком такого типу моделювання є неуніверсальність – для кожного нового об’єкта необхідно створювати нову модель.

Математичне моделювання – це моделювання об’єкта шляхом розв’язку рівнянь його математичної моделі. При такому типі моделювання важливу роль відіграє математична подібність. Для прикладу, запишемо рівняння трьох фізичних процесів: теплопровідності, дифузії та протікання струму (перенос заряду). Для теплопровідності потік тепла q пропорційний градієнту температури dT / dx з коефіцієнтом пропорційності l (коефіцієнтом теплопровідності):

. (2)

Для процесу дифузії потік речовини w пропорційний градієнту концентрації dc / dx з коефіцієнтом пропорційності D (коефіцієнтом дифузії):

. (3)

Для процесу проходження електричного струму потік заряду i пропорційний градієнту потенціала du / dx з коефіцієнтом пропорційності r (провідність):

. (4)

Як видно, абсолютно різні фізичні процеси описуються ідентичними математичними рівняннями. Це одна з переваг математичного моделювання – універсальність. Адже модель теплопровідності можна з успіхом застосувати, наприклад, для опису процеса дифузії.

Етапи математичного моделювання:

1) складання математичного опису;

2) розв’язок рівнянь математичного опису;

3) перевірка адекватності моделі;

4) вибір моделі (якщо їх декілька).

Якщо набір всіх вхідних параметрів моделі X ₁, X ₂, ¼, X _N позначити через , а набір вихідних параметрів Y ₁, Y ₂, ¼, Y _M через , то під математичною моделлю об’єкта (рис.2) розуміють функцію

. (5)

Окрім універсальності, перевагами математичного моделювання є дешевизна, можливість вільного керування параметрами та можливість розкладу процесу на складові (декомпозиція).

Комп’ютерне моделювання – це моделювання комп’ютерними засобами з використанням інформаційних технологій. Метою комп’ютерного моделювання є побудова інформаційної моделі об’єкта. Інформаційна модель – це набір величин, характеристик, властивостей, що адекватно описують об’єкт, процес або явище. Наприклад, інформаційна модель Сонячної системи має містити перелік небесних тіл (планет) з вказаними параметрами для кожної планети – маса, радіус, період обертання навколо Сонця, власний період обертання навколо своєї осі, і т.д.

Етапи комп’ютерного моделювання:

Проаналізувавши об’єкт складаємо формальну модель, шо містить:

1) набір постійних величин (констант);

2) набір змінних величин;

3) формули і алгоритми, що зв’язують змінні у кожному стані об’єкта;

4) формули і алгоритми, що описують зміну станів об’єкта.

Використовуючи формальну модель, складаємо алгоритм та програмуємо модель. Програмування може відбуватися як на універсальних мовах програмування високого рівня (Pascal, C, Basic, Delphi), так і на спеціалізованих, призначених для моделювання – Simula, GPSS та ін.). При програмуванні особливу увагу слід приділяти способам виводу результатів – табличному, графічному або анімаційному.

Після програмування та тестування проводиться комп’ютерний експеримент, де за вхідними даними отримуємо набір вихідних і, таким чином, складаємо інформаційну модель об’єкта.

Дуже часто, при комп’ютерному моделюванні математичної моделі об’єкта використовуються пакети прикладних програм (математичні процесори) – MatLab, Maple, MatCad, Matematica та ін. У цьому випадку відпадає необхідність в традиційному програмуванні на мовах високого рівня.

4. Медичні та біологічні моделі

4.1. Кінетичні моделі популяції клітин

В основі процесів обміну клітини з середовищем і внутрішнього метаболізму лежить складна мережа організованих певним чином в часі і просторі різних реакцій. В результаті цих процесів змінюються концентрації різних речовин, чисельність окремих кліток, біомаса організмів, можуть змінюватися і інші величини, наприклад величина трансмембранного потенціалу в клітці. Зміни всіх цих величин в часі і складають кінетику біологічних процесів. Основні початкові передумови при описі кінетики в біологічних системах загалом такі ж, як і в хімічній кінетиці.

Розглянемо простий приклад замкнутої популяції кліток, в якій одночасно відбуваються процеси розмноження і загибелі і в надлишку є поживні речовини. Виникає питання, як міняється чисельність кліток в такій системі з часом і чи може в ній врешті-решт встановитися стаціонарний стан, коли число кліток мінятися не буде. Це типова кінетична задача, яка розв'язується за допомогою звичайних диференціальних рівнянь. Нехай в деякий момент часу t концентраціякліток в середовищі складе N. Швидкість d N /d t зміниконцентрації кліток у середовищі складається з швидкості їх розмноження V_розмн і швидкості загибелі V_загиб:

. (6)

У простому випадку швидкість розмноження, тобто збільшення концентрації кліток в одиницю часу, пропорційна їх чисельності в кожен момент:

, (7)

де k ₁ – константа пропорційності, що залежить від умов середовища (температура, наявність поживних речовин та ін.). Аналогічно

, (8)

де k ₂ – константа пропорційності, що визначає інтенсивність процесів загибелі кліток. Звідси витікає, що

, (9)

де .

Розв’язавши це рівняння, ми знайдемо, як змінюється концентрація клітин в середовищі з часом N = N (t):

, (10)

де N ₀ – концентрація кліток в початковий момент часу t = 0 спостереження за системою.

Можна побачити, що в залежності від величин констант швидкостей процесів загибелі k ₂ і розмноження k ₁ доля цієї популяції буде різною. Якщо , то і в системі відбуватиметься необмежене зростання числа кліток з часом: , а якщо , то ,то з часом популяція вимиратиме: . І лише в окремому випадку при число кліток залишатиметься постійним: .

Іншим прикладом моделі зростання популяції в середовищі з обмеженою кількістю поживних речовин служить рівняння логістичної кривої. Логістичне рівняння Ферхлюста має вид:

. (11)

Тут N_max – максимальна чисельність популяції, що можлива в даних умовах. Крива N =N (t), щоописується цим рівнянням, має дві характерні ділянки (див. рис.2). У початковий період зростання, коли N < N _{ma x},крива носить експоненційний характер. Потім, після точки перегину, нахил поступово зменшується і крива наближається до верхньої асимптоти N = N_max, тобто до максимально досяжного рівня популяції в даних умовах.

Як видно, динаміку біологічних процесів можна описувати рівняннями, що аналогічні рівнянням хімічної кінетики. Проте, в порівнянні зі звичайною хімічною кінетикою, біологічна кінетика характеризується наступними особливостями:

1. Як змінні виступають не тільки концентрації речовин, але і інші величини.

2. Змінні змінюються не тільки в часі, але і в просторі.

3. Біологічна система просторово гетерогенна, і умови взаємодії реагентів можуть бути різні в різних точках системи.

4. Існують спеціальні механізми саморегуляції, що діють за принципом зворотнього зв'язку.

Основна задача в біофізиці складних систем полягає в тому, щоб одержати характеристики різних динамічних режимів і з'ясувати умови і значення параметрів, при яких вони реалізуються в живій клітині.

4.2. Модель відкритої системи

Розглянемо просту відкриту систему, в якій відбувається обмін речовинами "a" і "b" з навколишнім середовищем і, крім того, зворотня реакція першого порядку перетворення (див.рис.3). Позначимо а, b – змінні концентрації усередині системи; А, В – постійні концентрації цих же речовин у зовнішніх резервуарах; k_A, k_ab, k_ba, k_B – константи швидкостей процесів.

Не дивлячись на простоту, модель відображає основні риси обмінних процесів в клітині. Надходження субстрата із зовнішнього середовища задається реакцією A→a, викид метаболітів у зовнішнє середовище задається реакцією b→В, а процесам клітинного метаболізму відповідає перетворення а b. Наприклад, для процесу дихання на етапі А→а відбувається надходження глюкози і кисню, етап b→B відповідає викиду СО₂ і Н₂О з клітини, а весь метаболічний дихальний цикл трансформації молекули глюкози представлений реакцією а b. Значення констант швидкостей носять, звичайно, феноменологічний узагальнений характер і не можуть бути віднесені до якоїсь конкретної біохімічної стадії. Проте і така, до межі спрощена, модель відображає основні риси сукупності метаболічних реакцій клітини як відкритої системи.

Рівняння кінетики для цієї системи мають вигляд

, (12)

. (12)

Для розв’язку цих рівнянь необхідно задати початкові умови – концентрації речовин у клітині a ₀ і b ₀ при t = 0. Така відкрита система через певний проміжок часу приходить у стаціонарний стан, в якому змінні а і b приймають постійні значення і . Знайти їх можна, прирівнявши до нуля праві частини рівнянь (17) і (18).

Виявляється, що величини і не залежать від початкових умов, тобто від a ₀ і b ₀, а визначаються тільки величинами констант k і концентрацій речовин у зовнішніх резервуарах А, В. Це означає, що, в якому б початковому стані не знаходилася система, в ній врешті-решт встановиться один стаціонарний режим, при якому а = , b = .

У цьому полягає властивість еквіфінальності стаціонарних станів, яка властива відкритим системам і часто спостерігається при вивченні біологічних процесів. Хоча початкові умови не впливають на значення і , вони проте визначають конкретний характер кривих зміни а (t) і b (t) і кінетику переходу системи від початкової точки а = а ₀, b = b ₀ у момент t = 0 у стаціонарний стан а = , b = при t →∞.

На рис.3 наведено декілька видів перехідних кривих а (t). Схожі за формою криві спостерігалися, наприклад, у фізіологічних дослідженнях швидкості дихання за різних початкових умов. Ці випадки отримали спеціальні назви, позначені на мал.3. Навіть з аналізу простої системи (17) і (18) видно, що аналітичні розв’язки мають досить громіздкий вигляд і залежать від великого числа параметрів.

Ясно, що при великому числі змінних такі розв’язки не тільки важко отримати, але по них вже і складно з'ясувати залежність кінетичної поведінки системи від параметрів. Звернемо увагу на те, що рівняння (4) містять в правих частинах тільки лінійні члени, куди невідомі змінні входять в першій степені. Проте в біологічних системах процеси, як правило, істотно нелінійні. Так, швидкість простої бімолекулярної реакції другого порядку описується математично у вигляді добутку концентрацій реагентів, тобто в моделі такої реакції праві частини рівнянь містять нелінійні члени. В цьому випадку знаходження точних аналітичних розв’язків стикається із серйозними математичними труднощами а часом взагалі неможливе. Тому основний підхід в сучасній кінетиці і математичному моделюванні біологічних процесів полягає у відмові від знаходження точних аналітичних розв’язків диференціальних рівнянь. Ідея полягає в отриманні якісних характеристик динамічної поведінки системи: стійкі і нестійкі стаціонарні стани, переходи між ними, коливальні режими, якісна залежність поведінки системи від критичних значень параметрів. Найважливішою властивістю стаціонарного стану є його стійкість. Ця стійкість визначається здатністю системи самовільно повертатися в стаціонарний стан після внесення зовнішніх збурень, що відхилюють систему від початкової стаціонарної точки рівноваги. У складній системі можуть протікати реакції другого і вищих порядків. Це відповідає тому, що така система може володіти декількома стаціонарними станами.