Сопряженные линейные преобразования

Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Е_n.

Определение 55. Линейное преобразование j*: Е_n ® Е_n называется сопряжённым к преобразованию j, если для любых двух векторов а и в из Е_n выполняется условие

(а, j (в)) = (j* (а), в) (52)

Теорема 54. Матрицы сопряжённых преобразованийсвязаны формулой А = Г^{– 1}×(А*)^Т× Г.

Пусть в Е_n зафиксирован базис е = (е₁, е₂,..., е_n), Г – матрица Грама, А – матрица преобразования j и А* – матрица j*. Если х, у, у¹ и х* – столбцы координат векторов а, в, j (в)и j* (а)) соответственно, то (а, j (в)) = х ^Т× Г × у¹, (j* (а), в) = (х*)^Т ×Г× у. Используя равенство (52), получим х ^Т× Г × у¹ = х*×Г× у. Используя связь координат вектора и его образа (формула (36)), получим у¹ = А×у, х* = А* × х. Подставим в предыдущее равенство:

х ^Т× Г ×(А × у) = (А*×х)^Т× Г×у, х ^Т×(Г × А)× у = х ^Т×((А*)^Т× Г)× у. Отсюда Г × А = (А*)^Т× Г, или

А = Г^{– 1}×(А*)^Т× Г (53)

Следствие 1. А* = Г^{– 1}× А ^Т× Г (54).

Доказательство. Из формулы (53) следует, что (А*)^Т = Г×А×Г ^–1, А* = (Г ^–1)^Т× А ^Т× Г ^Т. Так как Г – симметрическая матрица, то Г ^Т = Г. Следовательно, А* = Г^{– 1}× А ^Т× Г.

Следствие 2. Сопряжённость линейных преобразований взаимна.

Доказательство следует из формул 53 и 54.

Следствие 3. Если базис ортонормированный, то А* = А ^Т.

Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе Г = Е.

Пример. В базисе е = (е₁, е₂, е₃, е₄) пространства Е₄ скалярное произведение заданоматрицей Грама Г = . Пусть А = – матрица линейного преобразования j в этом базисе. Найти матрицу сопряжённого преобразования.

Решение. Легко проверить, что Г удовлетворяет всем требованиям матрицы Грама. Используем формулу (54). Из неё А* = Г^{– 1}× А ^Т× Г. Нужно найти матрицу Г^–1. Проверьте, что Г^–1 = . Итак,

А* = × × = .

Теорема 55. Если некоторое подпространство L евклидова пространства Е_n инвариантно относительно линейного преобразования j, то ортогональное дополнение L ^{^} инвариантно относительно сопряжённого преобразования j*.

Доказательство. Пусть а Î L, в Î L ^{^}. Тогда из условия j (а) Î L следует, что (в, j (а)) = 0. Но (в, j (а)) = (j* (в), а). Следовательно, (j* (в), а) для любого вектора а Î L. Следовательно, j* (в) Î L ^{^} для любого вектора в Î L ^{^}. Но это и означает, что подпространство L ^{^} инвариантно относительно j.