Плоскость в пространстве

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию.

Уравнением поверхности в декартовой системе координат называется уравнение F (х; у; z) = 0 с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Переменные х, у, z называются текущими координатами.

Простейшей поверхностью является плоскость, задаваемая уравнением первой степени.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором.

Уравнение плоскости, проходящей через точку М (х ₀; у ₀; z ₀) перпендикулярно вектору нормали , имеет вид:

А (х – х ₀) + В (у – у ₀) + С (z – z ₀)= 0.

Общее уравнение плоскости определяется уравнением:

Ах + Ву + Сz + D = 0.

Рассмотрим различные виды неполных уравнений плоскости. Если в общем уравнении плоскости отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой. Если, кроме этого, отсутствует свободный член, то плоскость проходит через эту ось.

Если в общем уравнении плоскости отсутствуют два члена с текущими координатами (т.е. какие-либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами. Если, кроме этого, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.

Уравнение плоскости в отрезках на осях имеет вид:

,

где а, b, с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях (рис. 20).

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М ₁ (х ₁; у ₁; z ₁), М ₂ (х ₂; у ₂; z ₂), М ₃ (х ₃; у ₃; z ₃), имеет вид:

.

Рис. 20

Угол j между плоскостями А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ = 0, определяется по формуле:

.

Плоскости параллельны, если (нормальные векторы (А ₁; В ₁; С ₁) и (А ₁; В ₁; С ₁) коллинеарны).

Плоскости совпадают, если .

Плоскости перпендикулярны, если А ₁ А ₂ + В ₁ В ₂ + С ₁ С ₂ = 0 (нормальные векторы (А ₁; В ₁; С ₁) и (А ₁; В ₁; С ₁) перпендикулярны).

Плоскость, проходящая через точку М (х ₀; у ₀; z ₀) и параллельная плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, определяется уравнением:

А (х – х ₀) + В (у – у ₀) + С (z – z ₀) = 0.

Расстояние от точки М (х ₀; у ₀; z ₀) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, определяется по формуле:

.