Дифференциальное исчисление

Издательство «Самарский университет»

Учебное пособие содержит варианты контрольных заданий и рекомендации к их решению по курсу «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление». В нем представлены алгоритмы решения задач на нахождение предела функции, исследование функции и построение графиков, рассмотрены основные методики решения задач дифференциального исчисления.

В данном пособии приведены теоретические и практические вопросы для самостоятельной подготовки студентов по всему курсу «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление».

Учебное пособие предназначено для студентов 1 курса гуманитарных специальностей всех форм обучения.

Авторы-составители: Л.А. Сараев, д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой высшей математики и информатики СамГУ; Ю.В. Хохрякова, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики и информатики СамГУ; Е.А. Ильина, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики и информатики СамГУ, В.С. Глущенков, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики и информатики СамГУ.

Рецензент: В.П. Радченко, д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой прикладной математики и информатики СамГТУ.

Содержание

Программа курса «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление»....................................................................................................... 4

Тематика контрольных работ................................................................... 6

Методические указания к выполнению расчетного задания................. 35

Литература.............................................................................................. 47

Программа курса «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление»

Лекции

Числовая функция одной и нескольких переменных.

Предел последовательности.

Предел функции в точке и в бесконечности.

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величин, их связь с ограниченными величинами и величинами, имеющими конечный предел. Устойчивость знака.

Простейшие свойства бесконечно малых.

Простейшие свойства пределов.

Сравнение бесконечно малых. Предельный переход в неравенствах.

Признаки существования пределов.

Замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, произведения, частного, сложной функции, элементарных функций.

Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

Непрерывность функции на отрезке, свойства непрерывных на отрезке функций.

Производная и дифференциал функции одной переменной. Сводка правил вычисления производной.

Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

Производные сложных и неявных функций одной и нескольких переменных.

Производные и дифференциалы высших порядков функций одной и нескольких переменных.

Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора.

Возрастание и убывание функций. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума. Поиск глобального экстремума.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость, точки перегиба, асимптоты кривой.

Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных.

Локальные экстремумы функции нескольких переменных.

Аппроксимация экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов.

Производная по направлению. Градиент.

Приближенные методы поиска локальных экстремумов (релаксационный, градиентный, наискорейшего спуска, симплекс-метод).

Задачи линейного программирования. Общая и основная задача. Геометрическая интерпретация.

Двойственная задача линейного программирования, ее геометрическая интерпретация.

Задачи нелинейного и целочисленного программирования, экономическая и геометрическая интерпретация.

Условные экстремумы функций нескольких переменных. Метод Множителей Лагранжа.

Задачи выпуклого программирования. Градиентные методы.