Граничні умови для векторів електричного поля

А. Нормальні складові. Вектор електричної індукції підлягає наступній граничній умові:

, або . (3.3)

Вираз (3.3) показує, що при переході з одного середовища в інше, нормальна компонента вектора має стрибок, який дорівнює поверхневій густині заряду , розподіленого вздовж межі розділу. Якщо , то нормальна компонента вектора залишається неперервною при переході з одного середовища в інше:

при , (3.4)

де і проекції векторів і на нормаль .

Вивід. Доведення будується на застосуванні третього рівняння Максвела в інтегральній формі. На поверхні розділу двох середовищ з параметрами і виділимо достатньо малий елемент (рис. 3.3), щоб його можна було вважати плоским. Побудуємо на елементі прямий циліндр висотою так, щоб його основи були в різних середовищах. Через малі розміри циліндра поле на його основах можна вважати однорідним: . Зовнішня нормаль до верхньої основи напрямлена по , а до нижньої – протилежно . Поверхню циліндра можна представити у вигляді , де і – площі верхньої і нижньої основи, а – бокова поверхня. Тоді рівняння Максвела можна переписати

(3.5)

де

Спрямуємо висоту циліндра до нуля так, щоб його основи залишалися в різних середовищах. При цьому в границі і збігаються з . Через те, що елемент в (3.5) збігається за напрямком з зовнішньою нормаллю до поверхні , то в результаті граничного переходу, отримаємо:

, (3.6)

де і – значення вектора на межі розділу в першому і другому середовищі відповідно.

В (3.6) при зник потік через , а також стає рівним нулю об’єм, то зникає і та частина заряду, яка могла б бути розподілена в ньому, тобто залишається тільки заряд, який зосереджений на межі розділу. Якщо розділити обидві частини рівності (3.6) на , отримаємо

,

або

.

Бачимо, що ця рівність повністю співпадає з (3.3).

Якщо в (3.3) виразити і через і за допомогою рівності , отримаємо граничну умову для нормальних компонент вектора :

(3.7)

Якщо , то

(3.8)

Б. Дотичні тангенціальні складові. Для дотичних складових вектора гранична умова має вигляд

, або . (3.9)

Рівність (3.9) показує, що дотичні складові вектора при переході через межу розділу двох середовищ неперервна. Напрямок орту може змінюватися (рис. 3.1), тому більш зручно зробити запис через орт , через те, що його напрямок вибирається однозначно, тоді

. (3.10)

Вивід. Геометрія задачі: перетнемо межову поверхню S площиною Р, яка проходить через нормаль до S (рис. 3.4).

На лінії перетину поверхні розділу і площини Р виділимо достатньо малий відрізок так, щоб точка, яка розглядається знаходилась в середині цього відрізка. Розміри повинні бути такими, щоб його можна було вважати прямолінійним.

На відрізку побудуємо прямокутний контур ABCD висоти , щоб він знаходився в обох середовищах.

Проведемо додатковий орт перпендикулярний до площини Р і одиничну дотичну до відрізка . Всі три орта , , зв'язані співвідношенням

, (3.11)

і складають праву трійку векторів.

Вивід базується на застосуванні другого рівняння Максвела в інтегральній формі, причому в якості контуру в ньому, вибираємо контур ABCD. Через його малі розміри, поле на сторонах АВ і СD можна вважати однорідним: . Напрямок обходу контуру беремо як вказане на рис. 3.4. Тому можна записати

, (3.12)

де – площа, яка охоплюється контуром.

В границі при сторони AB і CD збігаються на межі S з ; при цьому : і права частина (3.12) зникають. Відкидаючи спільний множник , формально приходимо до (3.9)

.

Ця рівність справедлива для будь-якого напрямку на S.

Щоб отримати граничні умови в формі (3.10) замінимо в (3.10) через , а потім врахувавши властивість змішаного добутку векторів, отримаємо:

.

Через те, що орт , який задає орієнтацію площини Р являється невизначеним, отримаємо

,

що співпадає з (3.10).

Дотична складова вектору , навпаки, має розрив, величина, якого складає відношення діелектричних проникностей середовищ

. (3.13)

Виведені граничні умови показують, що вектори і на межі розділу заломлюються. Проілюструємо це на прикладі (рис. 3.5). Позначимо кути між нормаллю до поверхні розділу і векторами і відповідно через і . Через те, що , а , то використовуючи граничні умови (3.9) і (3.8), отримуємо, що при відсутності поверхневих зарядів на межі розділу справедливе наступне співвідношення:

(3.14)

В ізотропних середовищах вектори і напрямлені однаково. Тому (3.14) справедливо для вектору .