Закон Ома в диференційній формі

Закон виражає залежність густини струму провідності в який-небудь точці провідного середовища від напруженості електричного поля в цій точці. Перехід від звичайного закону Ома до диференційної форми можна зробити таким чином. В провіднику виділяється достатньо малий циліндр довжиною і поперечним перерізом . Вектор перпендикулярний торцям циліндру. Лінії струму паралельні осі циліндра. Розміри циліндра вибирають такими, щоб густина струму провідності , була незміною, тобто незалежною від координати (рис. 2.6).

Згідно з законом Ома струм уздовж осі циліндра дорівнює

. (2.38)

Опір визначається із геометрії циліндра і через питому провідність речовини провідника, по формулі, відомої з фізики

, (2.39)

де – поперечний переріз циліндра;

– довжина твірної циліндра.

Напругу між торцями циліндра представимо у вигляді

. (2.40)

Підставляючи (2.40) і (2.39) в (2.38), отримуємо

.

Розділивши обидві частини цього рівняння на , приходимо до співвідношення

,

яке можна представити у векторній формі

. (2.41)

Рівняння (2.41) прийнято називати законом Ома в диференційній формі. В ізотропних середовищах g – скаляр, а в анізотропних – тензор.