Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами, то определитель сменит знак

То есть, любая парная перестановка строк (столбцов) влечёт изменение знака определителя на противоположный.

Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель

!!! Внимание! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя. Пожалуйста, не путайте с матрицами, в матрице множитель выносится/вносится у ВСЕХ чисел сразу.

Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести, причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя.

Если две строки (столбца) определителя пропорциональны (как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю

Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

Какие свойства определителей полезно знать?

1) Величина определителя не меняется при транспонировании. Свойство запоминаем.

2) Любая парная перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный. Свойство тоже запоминаем и стараемся не использовать во избежание путаницы.

3) Из строки (столбца) определителя можно вынести множитель (и внести его обратно). Используем там, где это выгодно.

Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Система линейных уравнений теорема Крамера