Аналитические выражения корреляционной функции и спектральной плотности мощности входного случайного процесса

Аналитическое выражение для корреляционной функции , справедливое, как для значений > , так и для значений < , имеет вид

Интервал дискретизации t определяется на основе теоремы отсчетов. Сигнал с ограниченным частотой спектром точно определяется последовательностью своих отсчетов, взятых через интервалы , т.е. =40 мкс

Длительность интервала времени, отводимого на передачу каждого кодового символа

Скорость следования кодовых символов

252252

Корреляционной функции соответствует график рис. 9

График корреляционной функции .

Известно, что дисперсия стационарного процесса равна значению корреляционной функции при значении , т. е.

.

удовлетворяет следующему пределу ,

что является необходимым и достаточным условием эргодичности данного стационарного процесса .

Таким образом, рассматриваемый случайный процесс является не только стационарным, но и эргодическим процессом. Тогда вероятностные характеристики, такие как математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция, могут быть определены с помощью только одной реализации из ансамбля процесса путем соответствующих усреднений этой реализации по времени.

Для определения спектральной плотности мощности случайного процесса используется теорема Винера ­ Хинчина, которая справедлива только для стационарных центрированных процессов.

= . (20)

Так как , поскольку является четной функцией аргумента , а - нечетная функция (произведение четной функции на нечетную функцию является нечетной функцией, а интеграл от любой нечетной функции в указанных пределах интегрирования равен нулю).

=

. (21)

Используя метод интегрирования по частям, после элементарных преобразований получим окончательный результат

(22)

График функции

Спектральная плотность .

Функция (22) в точках обращается в нуль, и кривая при этих значениях касается оси абсцисс.

Основная доля мощности сигнала сосредоточена в ограниченной полосе частот вблизи частоты . Случайный синхронный телеграфный сигнал, имеющий теоретически бесконечную протяженность спектра, является нефинитным, с практической точки зрения его можно считать низкочастотным, но занимающим достаточно широкую полосу частот.