Суммой сходящегося числового ряда

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица1+2+4+….+ определяется выражением ,

Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида . В этом случае n–ая частичная сумма может быть вычислена как . Предел частичных сумм бесконечен.

Сумма вида называется гармоническим числовым рядом.

Сумма вида где – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом.

Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.

Докажем, что гармонический ряд расходится.

Запишем гармонический ряд в развернутом виде:

и наряду с ним рассмотрим ряд с меньшими членами, который получен из гармонического заменой на ; , , на ; , , …, на и т.д.

Ясно, что члены этого ряда уменьшились по сравнению с гармоническим рядом, а это дает нам возможность найти частичные суммы этого ряда либо доказать, что ряд расходится. Действитель-но, получен ряд вида:

1+ + + и.т.д., сложив в этом ряде выделенные группы, получим бесконечный ряд из сумм . Значит ряд расходится.

Обобщенный гармонический ряд сходится при > 1 и расходится при .