Экстремум функции двух переменных

Точка M ₀(x ₀, y ₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f (x,y), если найдется такая окрестность точки M ₀, что для всех точек M (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f (x,y)< f (x ₀ ,y ₀) или (f (x,y)> f (x ₀ ,y ₀)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис.1 -точка максимума Рис.2 -точка минимума

Сформулируем необходимые и достаточные условия существования экстремума:

Определение Точка называется точкой минимума (максимума) функции z=f(x;y, если существует такая окрестность точки , что для всех точек M(x;y) из этой окрестности выполняется неравенство f или f .

Точки минимума и максимума функции z= . называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если – точка экстремума дифференцируемой функции z= ., то ее частные производные и в этой точке равны нулю: и

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция z= . может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция z= .: а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и

; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка

. Тогда, если , то функция z= .: в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция z= .: в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти частные производные первого порядка: и .

2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка: , , .

4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5. Найти экстремумы функции.

Пример 1. Найти экстремумы функции z= .

Решение. 1. Находим частные производные и :

, .

2. Для определения критических точек решаем систему уравнений

Из первого уравнения системы находим: y= . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим или, x(,

Откуда .

Находим значения y, соответствующие значениям .

. Подставляя значения . в уравнение , получим: .

Таким образом, имеем две критические точки: и .

3. Находим частные производные второго порядка:

; ; .

4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:

, , .

Так как

,

то в точке экстремума нет.

В точке .:

, ,

и, следовательно,

.

Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке . функция имеет минимум, так как в этой точке и A>0.

5. Находим значение функции в точке .:

.

6. Условный экстремум

В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть z=f(x;y) – функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию g(x;y)=C, называемому уравнением связи.

Определение 8. Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции z=f(x;y), если существует такая окрестность точки , что для всех точек M(x;y) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g(x;y), выполняется неравенство f( , (f( )

Если уравнение связи g(x;y)=C можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x: y= , то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное значение y= , в функцию двух переменных. В результате получают функцию одной переменной x: z=f(x, . Ее экстремум и будет условным экстремумом функции z=f(x;y).

Пример 7. Найти экстремумы функции z=3 -7 при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи y-3x= -1.

Решение. Из уравнения связи находим функцию y=3x-1 и подставляем ее в функцию z. Получим функцию одной переменной

или z(x)=3 - 6x-5

Находим экстремум данной функции:

6x - 6= 0, x=1 - критическая точка первого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как то в точке x=1 функция z(x) имеет локальный минимум. Из уравнения связи находим: y=3 . Следовательно, функция

в точке M91;2) имеет условный минимум:

.