Лекция 5. Задача обнаружения сигналов

Результатом воздействия помех является частичная или полная потеря информации, переносимой полезным сигналом. Приемное устройство, осуществляя обработку входного сигнала, являющегося суммой полезного сигнала и помехи, должно обеспечить извлечение из принятого сигнала возможно большего количества необходимой информации.

Основная задача приемника состоит в том, чтобы па основании принятой реализации решить наилучшим в каком-то определенном смысле способом, имеется ли данный сигнал в данной реализации (задача обнаружения или различения), или каковы параметры полезного сигнала (задача восстановления). В связи с этим должны быть выработаны критерии, позволяющие по принятому сигналу оптимальным способом решить поставленную задачу.

Задача выбора оптимального способа обработки сигналов и выработки при этом соответствующих критериев составляет содержание теории статистических решений.

С целью наглядного представления положений теории статистических решений введены геометрические понятия пространства принимаемого сигнала (смотри рис. 2.1)

Рис. 2.1 Пространство принимаемого сигнала

Пусть отсчеты принимаемого сигнала, являющегося суммой полезного сигнала и помехи, осуществляются в дискретные моменты времени . Отсчетные значения принятого сигнала называют выборочными значениями, а их совокупность — выборкой. Число п выборочных значений называют размером (или объемом) выборки.

Совокупность выборочных значений представляют геометрически в виде радиус-вектора Y в n -мерном пространстве, где — координаты конца вектора. Так как величины случайны, то вектор Y также является случайным вектором. Множество возможных значений вектора Y составляет пространство наблюдений V. Общая вероятность попадания конца вектора Y в произвольную точку пространства V

(2.1)

По аналогии вводят понятия вектора полезного сигнала и вектора помех и соответственно им понятие пространства полезного сигнала и пространства помех.

После нахождения вектора принятого сигнала Y мы не можем однозначно судить о векторе полезного сигнала X. Речь может идти только об апостериорной плотности вероятности

, т. с. условной плотности веро­ятности X, если задан вектор Y.

Вычисление апостериорной плотности вероятности можно выполнить с помощью формулы Байеса

(2.2)

Безусловная плотность вероятности определяется соотношением

(2.3)

Подставляя значение из (2.3) в (2.2), получим

(2.4)

Если вектор X может иметь конечное число возможных значений с априорными вероятностями , то формула (2.4) принимает вид

(2.5)

Следовательно, для нахождения искомой апостериорной вероятности (или плотности вероятности) необходимо знать р(X) или , т. е. априорные характеристики полезного сигнала, и , определяемые априорными характеристиками полезного сигнала и помехи, а также характером их композиции.

Для определения апостериорных вероятностей p(X/Y) или плотностей вероятностей необходимо знать , которая при заданном значении Y будет зависеть только от X

(2.6)

Функция L(X) называется функцией правдоподобия. В зависимости от того, является ли X дискретной или непрерывной величиной, функция правдоподобия L(X) может принимать конечное или бесконечное множество значений.

Рассмотрим основные критерии, используемые при решении задачи оптимального приема. Начнем с простейшей задачи — задачи обнаружения сигналов. Задача обнаружения, как отмечалось, состоит в том, чтобы в результате обработки принятого сигнала Y установить, содержится ли в нем полезный сигнал X или нет.

Пусть принимаемый сигнал является суммой полезного сигнала и помехи

Полезный сигнал может принимать дна значения: х₁ и х₀ с априорными соответственно вероятностями р(х₁) и р(х₀). 'Гак как сигнал X наверняка имеет одно из этих двух значений, то справедливо соотношение

(2.7)

Таким образом, возможны две взаимно исключающие (альтернативные) гипотезы: в принятом сигнале содержится полезный сигнал (гипотеза Н₁) и отсутствует полезный сигнал (гипотеза Н₍₎). Решающее устройство приемника по данным выборки должно установить, какая из этих гипотез является истинной.

В геометрической интерпретации поставленная задача может быть сформулирована следующим образом. Пространство принятых сигналов V условно разбивается на две части: область V₁ соответствующую принятию гипотезы Н₁ о том, что X=х₁ и область V₀ соответствующую принятию гипотезы Н₍₎ о том, что X = х₀. Это значит, что если вектор принятого сигнала окажется в пределах области V₁ то принимается гипотеза Н₁. Если же вектор сигнала Y окажется в области V₀, то принимается гипотеза Н_о.

В этих условиях могут иметь место два значения апостериорной вероятности p(X/Y): p(x/Y) — условная вероятность наличия полезного сигнала X при данном значении выборки Y, р(x₀/У) — условная вероятность отсутствия X при данном значении выборки Y.

Аналогично можно рассматривать два значения функции правдо­подобия L(X): — условная плотность вероятности выборки Y при наличии полезного сигнала X; — условная плотность вероятности выборки Y при отсутствии X.

Отношение функций правдоподобия

(2.8)

принято называть отношением правдоподобия.

Для выбора гипотезы Н₁ или Н₍₎ должно быть взято за основу определенное правило принятия решений.

Выбор правила принятия решения в математическом отношении сводится к оптимальному разбиению пространства принимаемых сигналов V на области V₁ и V₀

Для того чтобы выбрать то или иное правило принятия решения, необходимо руководствоваться определенными критериями.

Критерий максимума правдоподобия. Этот критерий формулируется следующим образом: наиболее правдоподобно то значение параметра X, для которого функция правдоподобия L(X) максимальна.

В соответствии с этим критерием в случае двухальтернативиой ситуации (обнаружение сигнала) сравнивается два значения функции правдоподобия — и , и принимается та гипотеза, которой соответствует большее значение функции правдоподобия. Если, например, , то принимается гипотеза Н₁. Если же , то принимается гипотеза Н₍₎.

Этот критерий можно записать в следующем виде через отношение правдоподобия

если , то Х=х₁

(2.9)

при , то Х=х₀

Таким образом, в соответствии с данным критерием методика принятия решения сводится к следующему: вычисляются функции правдоподобия и , определяется отношение правдоподобия , и в зависимости от того, больше, равно или меньше , единицы принимается соответствующая гипотеза.

Практическое достоинство данного критерия заключается в том, что при его применении не требуется знания априорных вероятностей р(х₁) и р(х₀) сигнала X.

Критерий максимума апостериорной вероятности. По этому критерию при полученном значении выборки Y принимается та гипотеза, при которой апостериорная вероятность р(Х/Y) максимальна.

Для случая двухальтернативной ситуаций сравниваются два значения апостериорной вероятности p(x₁/Y) и p(x₀/Y). Обычно рассматривается отношение этих величин и правило принятия решения записывается в виде:

если , то Х=х₁

(2.10)

если , то Х=х₀

Используя формулу Байеса (2.5), выразим отношение апостериорных вероятностей через отношение функций правдоподобия

(2.11)

Тогда критерий максимума апостериорной вероятности (2.10) может быть следующим образом выражен через отношение правдоподобия:

если , то Х=х₁

(2.12)

если , то Х=х₀

Соотношения (2.12) можно представить в виде:

если , то Х=х₁

(2.13)

если , то Х=х₀

Таким образом, процедура принятия решения согласно критерию максимума апостериорной вероятности такая же, как и согласно критерию максимума правдоподобия. Отличие заключается лишь в том, что в первом случае отношение правдоподобия сравнивается с единицей, а во втором случае — с отношением априорных вероятностей . При наличии априорных данных р(х₁) и р(х₀) целесообразно применять критерий максимума апостериорной вероятности, так как при этом имеется возможность пользоваться дополнительной информацией, позволяющей точнее решить задачу обнаружения сигнала.

Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова). Согласно данному критерию принимается та гипотеза, при которой обеспечивается минимум общей ошибки принятия решения.

При решении задачи обнаружения сигнала могут иметь место ошибки двух родов:

1) при отсутствии полезного сигнала вектор принятого сигнала Y оказывается в области V₁ и принимается в соответствии с этим гипотеза Н₁;

2) при наличии полезного сигнала вектор Y оказывается в области V₀ принимается гипотеза Н_о. Первая ошибка называется ошибкой первого рода, или «ложной тревогой». Вторая ошибка называется ошибкой второго рода, или «пропуском сигнала». Количественно ошибки первого и второго рода оцениваются условными вероятностями и ошибочных решений о наличии полезного сигнала, когда в действительности он отсутствует, и об отсутствии сигнала, когда в действительности он имеется

(2.14)

Общая безусловная вероятность ошибочного решения определяется выражением

(2.15)

Критерий идеального наблюдателя минимизирует общую ошибку, определяемую, выражением (2.15).

Следовательно, условие оптимального решения по критерию

идеального наблюдателя имеет вид

Подставим в (2.15) из (2.14) значения ошибок первого и второго рода

(2.17)

Ошибку второго рода можно представить в виде

(2.18)

Подставив из (2.18) в (2.17) значение р, получим

(2.19)

Условие (2.16) будет обеспечено, если интеграл в (2.19) будет

максимален. Для этого нужно так выбрать область V₁, чтобы

подынтегральная функция была положительной, т. е.

(2.20)

Условие (2.20) определяет принадлежность вектора Y области V₁, т. е. выбор гипотезы Н₁. Перепишем (2.20) в виде:

если , то Х=х₁

если , то Х=х₀

Таким образом, правила решения, соответствующие критериям идеального наблюдателя и максимума апостериорной вероятности, совпадают. Отличие заключается лишь в исходных условиях.

Критерий Неймана—Пирсона. Данный критерий основам на том, что ошибки первого и второго рода не одинаково опасны, причем ошибка первого рода приводит к таким последствиям, что се вероятность необходимо ограничить некоторой очень малой величиной. Вторую ошибку желательно при этом обеспечить минимальной.

Исходя из этого, критерий Неймана—Пирсона можно сформулировать следующим образом: наилучшим решением является такое, при котором обеспечивается наименьшая вероятность ошибки второго рода при заданной допустимой вероятности ошибки первого рода.

Итак, согласно критерию Неймана—Пирсона должно быть обеспечено

(2.21)

при

(2.22)

Задача может быть решена методом Лагранжа отыскания условного экстремума. Опуская промежуточные выкладки запишем конечный результат.

Правило принятия решения согласно критерию Неймана— Пирсона может быть записано в виде:

если , то Х=х₁

(2.23)

если , то Х=х₀

Пороговое значение определяется из равенства

(2.24)

Критерий минимального риска (критерий Байеса). Этот критерий учитывает не только неравноценность ошибок первого и второго рода, но и те последствия, к которым приводят эти ошибки. Для учета этих последствий введены весовые коэффициенты (коэффициенты цены ошибок) Г| и г_О1, приписываемые соответственно ошибкам первого и второго рода.

Усредненная величина

(2.25)

получила название риска.

В соответствии с критерием минимального риска правило выбора решения формулируется следующим образом: принимается та гипотеза, при которой обеспечивается минимальный риск.

Представим (2.25) в виде

(2.26)

Минимум выражения (2.26) будет при условии, если подынтегральная функция положительная

Отсюда получаем следующее правило принятия решения:

если , то Х=х₁

(2.27)

если , то Х=х₀

Рассматриваемый критерий наиболее целесообразен экономически, так как обеспечивает минимизацию потерь, обусловленных ошибками в принятии решений. Но он требует максимальной априорной информации, ибо помимо функций распределения и априорных вероятностей р(Х), необходимо также знание весовых коэффициентов и .

Минимаксный критерий. Минимаксный критерий представляет собой специальный случай критерия минимального риска, когда априорные вероятности и не заданы.

Дело в том, что риск , получающий наименьшее значение при условии (2.27), зависит от априорных вероятностей и . При определенном соотношении этих вероятностей, который мы назовем наихудшим, риск будет максимален.

Идея минимаксного критерия заключается в том, что обеспечивается минимум риска при наихудшем соотношении априорных вероятностей.

Для определения наихудшего соотношения между и необходимо приравнять нулю производную от правой части (2.26) по (или по р(х₀)).

В результате получается трансцендентное уравнение, обеспечивающее максимум риска. Затем определяется пороговое значение отношения правдоподобия

(2.28)

Таким образом, правило принятия решения для всех рассмотренных критериев одинаково и сводится к сравнению отношения правдоподобия , с пороговым значением . Отличие заключается лишь в величине .

Так как величина определяет границу между областями V₁ и V₀ пространства V, то каждый критерий определяет способ разбивки пространства принятого сигнала области V₁ и V₀.

Равенство определяет уравнение поверхности раздела поверхностей V₁ и V₀.