Явный метод простой итерации Якоби и неявный метод Зейделя

Исторически одними из самых ранних итерационных методов являются явный метод простой итерации Якоби и неявный метод Зейделя, которые могут быть представлены в виде модификации метода простой итерации. Перепишем (1) в следующем виде

(24)

Используем (24) для построения процесса итераций, начиная с при , :

;

(25)

В матричных обозначениях метод Якоби можно записать следующим образом. Представим , где - диагональная матрица, - строго нижняя треугольная матрица, - строго верхняя треугольная матрица. Тогда исходное уравнение можно записать в виде

и легко переписать в виде (24), так как легко обратимая матрица и представляема в явном виде

, (26)

Матрица диагональная и , . Необходимые и достаточные условия сходимости метода Якоби

(27)

Характеристическое уравнение для собственных чисел матриц перехода Якоби:

или

Таким образом, для определения спектра матрицы перехода Якоби следует раскрыть определитель и решить уравнение

(28)

Метод Зейделя также строится на основе разложения исходной матрицы. Однако он существенно отличается от метода Якоби тем, что при расчете координат вектора на текущей й итерации используются не только координаты вектора на предыдущей й итерации , но и уже ранее найденные на текущей итерации координаты вектора :

;

; (29)

В матричных обозначениях исходное уравнение

Матрица не обращаема в явном виде, поэтому матрица перехода может быть записана в виде эквивалентной по результату матрицы с тем же спектром, что и оператор Зейделя

, (30)

Неявный матричный процесс, эквивалентный (29)

(31)

Метод Зейделя хорошо алгоритмизируется. Если известен знаменатель сходимости метода, нет необходимости хранить оба вектора и . Характеристическое уравнение для эквивалентной матрицы перехода в методе Зейделя:

или

Таким образом, для определения спектра эквивалентной матрицы перехода для оператора Зейделя следует раскрыть определитель и решить уравнение.

Достаточными условиями сходимости методов Якоби и Зейделя является диагональное преобладание в матричных элементах (см.раздел 1.9): , для всех , однако на практике область сходимости значительно шире и определяется условием (27) на спектральный радиус матрицы для метода Якоби и на спектральный радиус оператора метода Зейделя или эквивалентной матрицы (30). Для решения СЛАУ с ленточными матрицами метод Зейделя является превосходным инструментом. Так, для симметричных положительно определенных матриц он будет всегда сходящимся. Однако для некоторого более узкого класса матриц более быстро сходящимся методом является метод оптимальной релаксации, описанный ниже. Метод релаксации - это по сути модифицированный метод Зейделя с параметром.

Вначале приведем алгоритм и подпрограмму метода простой итерации, которая может быть использована для вычислений в явных методах, таких как методы Ричардсона и Якоби.