Типовые примеры. Кооперирование предприятий

1.

Кооперирование предприятий.

Имеется три предприятия (I, II, III); которые выпускают продукцию #1, продукцию #2 и продукцию #3.Следующая таблица представляет общие выпуски продукции по каждому предприятию. Продукция продается комплектами (1ед. #1, 1ед. #2 и 1ед. #3). Спрос неограничен. Комплект стоит 1 тыс. руб.

Требуется решить вопрос о целесообразности объединения предприятий, найти максимальный возможный доход объединения, справедливый дележ – вектор Шепли.

	#1	#2	#3
I
II
III

Решение. Подсчитаем выигрыши коалиций, т.е. доход, который они получат при объединении. Для 3 игроков имеем 2³=8 коалиций.

Так как каждое из предприятий не выпускает одного из типов продукции, то без объединения никто ничего не зарабатывает. v(Æ)=v(I)=v(II)=v(III)=0.

При объединении I и II предприятий, их общий выпуск равен

	#1	#2	#3
I
II
итого

Они могут сформировать 900 комплектов и выручить за них 900 тыс. руб.

При объединении I и III предприятий, их общий выпуск равен

	#1	#2	#3
I
III
итого

Они могут сформировать 800 комплектов и выручить за них 800 тыс. руб.

При объединении II и III предприятий, их общий выпуск равен

	#1	#2	#3
II
III
итого

Они могут сформировать 300 комплектов и выручить за них 300 тыс. руб.

При объединении всех трех предприятий, их суммарный выпуск равен

	#1	#2	#3
I
II
III
итого

Они могут сформировать 1200 комплектов и выручить за них 1200 тыс. руб.

Занесем полученную информацию в таблицу выигрышей коалиций.

S	v(S)		S	v(S)
Æ			{I, II}
{I}			{I, III}
{II}			{II, III}
{III}			{I, II, III}

Теперь составим таблицу всевозможных порядков образования максимальной коалиции, раздавая каждому участнику ту дополнительную прибыль, которую он приносит в эту коалицию. Всего существует 3!=6 порядков формирования коалиций.

Порядок входа в коалицию		Сколько получает коалиция		Сколько получает каждый участник
первый	второй	третий		один	двое	трое		I	II	III
I	II	III
I	III	II
II	I	III
II	III	I
III	I	II
III	II	I
Итого

Например, на 5 строке указан порядок входа III, I, II.

Сначала приходит участник III. Так как v(III)=0, то он получает 0.

Следующим приходит участник I. Так как v(I,III)=800, то он получает 800-0=800.

Последним приходит участник II. Так как v(I,II,III)=1200, то ему достается 1200-800=400. Аналогично заполнены все остальные строки.

В строке итого подведены все доходы отдельных участников, полученные при 6 различных порядках. Собственно, эти 6 порядков выполняются для обеспечения полной симметрии по входам.

В заключение поделим полученные выигрыши на 6 и получим вектор справедливого платежа, который получают участники при вступлении в коалицию. .

Можно отметить, основные свойства вектора Шепли (справедливого дележа): от вступления в коалицию каждому участнику не становится хуже, кроме того, максимальный доход коалиции действительно получается и распределяется.

.

Почему первый участник должен получить больше других? Во-первых, выпуски на первом предприятии больше, во-вторых, в формировании лимитирующего количества 1200 главным образом участвует продукция #1, которая в основном выпускается на I предприятии, т.е. оно получает дополнительный доход за редкость.