Решение игр 2х2

Рассмотрим матричную игру с матрицей ,

не имеющей седловой точки.

Антагонистическая игра, в которой каждый игрок имеет конечное число стратегий, называется матричной игрой. Если игрок 1 имеет m стратегий, а игрок 2 имеет n стратегий, то матричная игра может быть задана матрицей , где есть выигрыш игрока 1, если он выбирает стратегию i, а игрок 2 — стратегию j. Матрица A называется матрицей игры или матрицей выигрышей. Стратегии игроков, на основе которых сформирована матрица A, называются чистыми стратегиями. Игра, задаваемая матрицей с m строками и n столбцами, называется игрой mхn.

Оптимальный выбор игроками своих стратегий в матричной игре осуществляется на основе принципа минимакса: стремление игроков к максимизации своих выигрышей понимается как стремление получить наибольший гарантированный, т.е., не зависящий от выбора стратегий другим игроком, выигрыш. Следуя этому принципу, игрок 1 может гарантировать себе выигрыш не менее , а игрок 2 гарантировать себе проигрыш не более величины . Величина (нижняя граница выигрыша игрока 1) называется нижней ценой игры, (верхняя граница проигрыша игрока 2) — верхней ценой игры. Стратегия игрока 1, обеспечивающая ему выигрыш не менее , называется максиминной стратегией. Аналогично, стратегия игрока 2, обеспечивающая ему проигрыш не более , называется минимаксной стратегией. Для краткости максиминную и минимаксную стратегии принято называть просто минимаксными стратегиями.

Теорема. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда матрица A имеет седловую точку, т.е. элемент , для которого выполняется двойное неравенство

(1)

при этом

. (2)

Число v называется ценой игры, минимаксные стратегии , называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2. Тройка называется также решением игры.

Ситуация в игре с седловой точкой является ситуацией равновесия: любое одностороннее отклонение каждым игроком от своей оптимальной стратегии может быть для него лишь невыгодно.

Следовательно, если в матрице есть седловая точка, решение находится среди чистых стратегий, иначе - среди смешанных стратегий. Произвольную смешанную стратегию x первого игрока представим в виде , где — вероятность выбора им своей первой чистой стратегии, . Аналогично, произвольная смешанная стратегия второго игрока имеет вид , . Задача имеет решение:

цена игры при этом равна

.