Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Коинтеграция и мнимая регрессия.
Рассмотрим два временных ряда y t и x t. Предположим, что оба ряда имеют единичные корни, то есть являются нестационарными. Предположим далее, что исследователь не знает механизмов, порождающих y t и x t, и оценивает регрессию:
y t = bx t + e t, t =1,…, n. (5.12)
Если e t = y t – bx t, t =1,…, n является стационарным временным рядом, то временные ряды y t и x t называются коинтегрированными, а вектор (1 – b) называется коинтегрирующим вектором.
Примеры.
1. Длинная ставка процента R, короткая ставка процента r: e t= R t – r t, вектор коинтеграции (1 –1).
2. Логарифм потребления C t, логарифм дохода y t: e t= С t – y t, вектор коинтеграции (1 –1).
3. Логарифм обменного курса D t, логарифм внутренней цены P t, логарифм цен мирового рынка P t*: e t= D t – P t+ P t*, вектор коинтеграции (1 –1 1). Ñ
В случае коинтегрируемости временных рядов говорят о долгосрочном динамическом равновесии. Если y t и x t коинтегрированы, то y t и bx t содержат общую нестационарную компоненту – долговременную тенденцию, а разность y t – bx t стационарна и совершает флуктуации около нуля.
Таким образом, коинтеграция временных рядов – причинно-следственная зависимость в уровнях временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.
Возможен случай, когда ошибка e t = y t – bx t, t =1,…, n в регрессии (5.12) является нестационарным временным рядом. Тогда условия классической регрессионной модели (п. 3) не выполняются, в частности дисперсия e t не является постоянной. Кроме того, МНК оценка параметра b не состоятельна, поэтому с ростом объема выборки увеличиваются шансы получения ложных выводов о взаимосвязи y t и x t. Такая ситуация называется ложной (мнимой) регрессией. На практике признаками мнимой регрессии являются высокое значение R 2 и малое значение статистики Дарбина-Уотсона.
Для проверки рядов на коинтеграцию используются тесты Энгеля-Гранжера или Йохансена.
Пример. Рассмотрим временные ряды логарифмов доходов и расходов на потребление с августа 1990 г. по январь 1992 г. в России. Графический анализ – рис. 5.1 показывает, что тенденции этих рядов совпадают.
Расчет параметров уравнения регрессии логарифма расходов y t на логарифм доходов x t обычным МНК дает следующие результаты:
=0,9 x t + e t,
n =25, R 2=0,80, критерий Дарбина-Уотсона 1,85, стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,009.
Для тестирования рядов на коинтеграцию определим оценки остатков = - 0,9 x t и построим регрессию первых разностей D на :
D = - 0,95 .
Фактическое значение t-критерия для коэффициента последней регрессии равно –4,46, что превышает по абсолютной величине критическое значение 1,94, рассчитанное Энгелем и Гранжером, при уровне значимости 5%, т.е. с вероятностью 0,95 можно утверждать, что временные ряды логарифмов доходов и расходов на потребление коинтегрированы. Ñ
При изучении двух взаимосвязанных временных рядов на предварительной стадии регрессионного анализа рекомендуется устранить сезонные или циклические колебания, если они имеются в исследуемых временных рядах, в соответствии с принятой аддитивной или мультипликативной моделями рядов.
Если рассматриваемые временные ряды y t и x t содержат тенденцию, то коэффициент корреляции, характеризующий степень зависимости между y t и x t будет иметь высокое значение. Такая же ситуация будет иметь место тогда, когда y t и x t зависят от переменной времени t. Как в первом, так и во втором случае имеет место ложная корреляция, которая приводит при построении регрессии y t на x t вида (5.12) к автокорреляции в остатках и нестационарности ряда остатков регрессии (ложная регрессия), то есть к нарушению предпосылок МНК.
Рис. 5.13.
Для получения регрессии со стационарным временным рядом остатков e t, как уже указывалось ранее, может быть использован метод последовательных разностей, когда переход к некоторым k -м разностям уровней ряда позволяет получить стационарный ряд остатков.
Другими методами исключения тренда из анализируемой модели (5.12) являются методы включения фактора времени и отклонений от тренда.
Метод включения фактора времени.
Для устранения влияния времени на результат и факторы при изучении взаимосвязанных рядов динамики используется прием включения времени t в качестве независимой переменной в модель регрессии, что позволяет зафиксировать воздействие фактора t. Достоинством такого подхода является использование всей имеющейся выборки в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере некоторого числа наблюдений.
Рассмотрим, например, модель вида:
y t = a + b 1 x t + b 2 t + e t,
которая относится к моделям c включенным фактором времени. Параметры модели определяются обычным МНК.
Пример. Потребительские расходы и доходы населения (тыс. у. е.) за ряд лет характеризуются следующими данными (табл. 5.13).
Таблица 5.13
Показатель | Год | ||||||||
Потребительские расходы | |||||||||
Доходы |
Оценим уравнение регрессии потребительских расходов y t на доходы x t вида:
y t = a + bx t + e t.
Получим, применяя МНК:
y t = -5,38 + 0,92 x t + e t,
причем R 2=0,98, стандартная ошибка коэффициента b 1 при x t 0,04, статистика Дарбина-Уотсона 0,86. Т.е. имеем случай мнимой регрессии, когда статистика Дарбина-Уотсона показывает наличие положительной автокорреляции остатков e t, а коэффициент детерминации близок к единице.
Применяя метод включения фактора времени, оценим регрессию вида:
y t = a + b 1 x t + b 2 t + e t.
Получим, применяя МНК:
y t = 3,88 + 0,69 x t + 1,65 t + e t,
причем R 2=0,99, стандартная ошибка коэффициента b 1 при x t 0,11, статистика Дарбина-Уотсона 1,3.
Полученное уравнение имеет следующую интерпретацию. Значение параметра b 1=0,69, говорит о том, что при увеличении дохода на 1 тыс. у.е., потребительские расходы возрастут в среднем на 0,69 тыс. у.е., если существующая тенденция будет неизменна. Значение b 2=1,65 свидетельствует о том, что без учета роста доходов населения ежегодный средний абсолютный прирост потребительских расходов составит 1,65 тыс. у.е. Ñ
Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции.
Если каждый из рядов y t и x t содержит тренд, то аналитическим выравниванием по каждому из рядов можно найти параметры тренда и определить расчетные по тренду уровни рядов и . Влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений тренда из фактических. Дальнейший регрессионный анализ проводят с отклонениями от тренда и .
Пример. Потребительские расходы и доходы населения (тыс. у.е.) за ряд лет характеризуются данными табл. 5.13.
Рассчитаем линейные тренды по каждому из временных рядов методом МНК:
=35,39+6,23 t, R 2=0,93 стандартная ошибка коэффициента при t 0,63,
=45,33+6,60 t, R 2=0,89 стандартная ошибка коэффициента при t 0,85.
По трендам определим расчетные значения и и отклонения от трендов и .
Таблица 5.14
Тренды и отклонения от трендов для временных рядов доходов и потребительских расходов
Время, t | y t | x t | ||||
41,62 | 51,93 | 4,38 | 7,07 | |||
47,86 | 58,53 | 2,14 | 4,47 | |||
54,09 | 65,13 | -0,09 | -1,13 | |||
60,32 | 71,73 | -1,32 | -5,73 | |||
66,56 | 78,33 | -4,56 | -7,33 | |||
72,79 | 84,93 | -5,79 | -6,93 | |||
79,02 | 91,53 | -4,02 | -2,53 | |||
85,26 | 98,13 | 0,74 | 2,87 | |||
91,49 | 104,73 | 8,51 | 9,27 |
Проверим полученные отклонения от трендов на автокорреляцию. Коэффициенты автокорреляции первого порядка составляют:
=0,56, =0,67,
в то время как для исходных рядов =0,99, =0,99.
Таким образом, полученные ряды отклонений от трендов можно использовать для получения количественной характеристики связи исходных временных рядов потребительских расходов и доходов населения. Коэффициент корреляции по отклонениям от трендов равен 0,93, тогда как этот же показатель по начальным уровням ряда был равен 0,99. Связь между потребительскими расходами и доходами населения прямая и сильная.
Результаты построения модели регрессии по отклонениям от трендов следующие:
Константа | 0,00 |
Коэффициент регрессии | 0,69 |
Стандартная ошибка коэффициента регрессии | 0,09 |
R 2 | 0,88 |
Статистика Дарбина-Уотсона | 1,30 |
Содержательная интерпретация модели в отклонениях от трендов затруднительна, но она может быть использована для прогнозирования. Ñ
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 1201 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!