Рекурсивные функции

Содержательная идея рекурсивных функций состоит в том, что все исходные данные (аргументы) задачи и ее решения (значения функций) можно пересчитать, даже если это далекая от математики задача, вроде решения для себя проблемы идти ли на дискотеку, в библиотеку или лучше на футбол…

Осуществив такого рода нумерацию аргументов и значений можно свести решение задач к нахождению функций ставящих в соответствие числовым аргументам числовые значения.

При этом как аргументы, так и функции находятся в области натуральных чисел - N.

Рекурсивные функции строятся на основе трех примитивных (заведомо однозначно понимаемых и реализуемых) функций.

1. Нуль-функция: Z(x) = 0.

Например, Z(1) = 0, Z(5) = 0., но Z(-5) - не определено.

4. Функция следования: S(x) = x + 1.

Тонкость заключается в том, что операции сложения (+) мы здесь пока не определили и запись " + 1" понимается как взятие следующего элемента естественно упорядоченного множества N.

То есть в множестве N. всегда можно найти следующий аргумент, например: S(5) = 6.

3. Функция проектирования (выбора аргумента). I_i⁽ⁿ⁾ (x₁, x₂,...,x_i,...,x_n) = x_i.

Или частный случай - тождественная функция: I (x) = x.

С примитивными функциями можно производить различные манипуляции, используя три оператора: суперпозиции, примитивной рекурсии и наименьшего корня.

1. Оператор суперпозиции: Позволяет из функции f (у₁, …, у_m) и функций

h₁(x₁,...,x_n), h₂(x₁,...,x_n),...,h_m(x₁,...,x_n) сконструировать функцию

f(h₁(x₁,...,x_n),..., h_m(x₁,...,x_n)).

Например, с помощью оператора суперпозиции можно получить любую константу

S(S(…(Z(x)) …)) = n, где число вложенных функций следования равно n.

Или сдвига числа на константу n, также равную числу вложенных функций следования.

S(S(…(S(x)) …)) = x + n,

2. Оператор примитивной рекурсии. Этот оператор позволяет получит

n + 1-местную функцию из n-местной и n + 2 - местной функций.

Оператор задается двумя равенствами:

f(x₁,...,x_n, 0) = g(x₁,...,x_n)

f(x₁,...,x_n, y) = h(x₁,...,x_n, y-1, f(x₁,...,x_n, y-1))

Позволяет по n+1-местной функции получить n-местную.

Частный случай - функция одного аргумента:

f(0) = const

f(y) = h(y - 1, f(y - 1))

Функции, которые могут быть построены из примитивных с помощью операторов суперпозиции и примитивной рекурсии называются примитивно-рекурсивными.

Пример: функция суммирования.

f_S(x, 0) = g(x) = I(x) = x

f_S(x, 1) = h(x, 0, f_S(x, 0)) = h(x, 0, x) = h ^` (I₃⁽³⁾((x, 0, x)) = S(x) = x + 1

f_S(x, 2) = h(x, 1, f_S(x,1)) = h(x, 1, x+1) = S(x + 1) = x + 2

...

f_S(x, y) = h(x, 1, f_S(x, y - 1)) = S(f_S (x, y - 1)) = x + y

то есть в традиционной записи определение сложения, как примитивно-рекурсивной функции, будет:

x + y = x + (y - 1) + 1

Функция умножения.

f_p(x, 0) = y(x) = z(0) = 0

f_p(x, 1) = h(x, 0, f_p(x, 0)) = h(x, 0, 0) = h ^` (I_1,3⁽³⁾((x, 0, 0)) = f_S(x, 0) = x

f_p(x,2) = h ^` (x, f_p(x, 1)) = f_S(x, x) = 2x

f_p(x,y) = f_S(x, f_p(x, y - 1))

то есть в традиционной записи определение умножения, как примитивно-рекурсивной функции, будет

x*y = x*(y - 1) + x