Морфизмы групп

Рассмотрим вращения квадрата вокруг центра до совмещения вершин.

4 3

a₁ = 0⁰ В качестве элементов – углы поворота.

a₂ = 90⁰ В качестве операции - доворачивание.

a₃ = 180⁰ Выполняются все законы для группы.

a₄ = 270⁰

1 2

Например, а₁ ° а₂ = а₂; а₂ ° а₂ = а₃; а₃ ° а₃ = а₁

Популярны со времен Галуа и так называемые подстановки. Можно записать подстановки, соответствующие каждому из четырех вращений предыдущего примера:

æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö

ç ç ç ç ç ç ç ç

è1 2 3 4ø è4 1 2 3ø è3 4 1 2ø è2 3 4 1ø

А в качестве операции взять композицию подстановок. Например,

=

æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö æ1 2 3 4ö

ç ç ç ç ç ç

è2 3 4 1ø è2 3 4 1ø è3 4 1 2ø

В результате также получится группа.

Возьмем корни уравнения x⁴ – 1 = 0

{1, i, -1, -i} - группа по операции умножения.

Таким образом, мы рассмотрели несколько конечных групп, содержащих по четыре элемента. Эти группы изоморфны между собой.

Например, можно отобразить друг в друга «единичные» элементы:

æ1 2 3 4ö

а₁ «0⁰ «ç ç «1

è1 2 3 4ø

Так что речь может идти об абстрактных группах, то есть о таких группах, для которых конкретное множество и конкретная операция несущественны.

Пусть f - некоторое отображение элементов одной группы в другую или в ту же самую и

f (a Ä b) = f(a) Å f(b) a,b Î G; f(a), f(b) Î b₂.

то говорят, что f - гомоморфизм.

Если f(a)=F(b), тогда и только тогда, когда a = b, то имеем изоморфизм (однозначный гомоморфизм).

Гомоморфизм группы в себя называется эндоморфизмом.

Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом.

Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.

Изоморфизм в себя называется автоморфизмом.

Пример: {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }

{...-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,... } - эндоморфизм, эпиморфизм, мономорфизм, изоморфизм, автоморфизм.

Инвариантные (нормальные) подгруппы

Группа H называется подгруппой группы G, если она состоит из элементов группы G и сама является группой.

Элемент c=b^-1ab называется трансформацией элемента а с помощью элемента b. При этом элементы с и а называются сопряженными.

b^-1 - обратный элемент для b.

Здесь а и b - элементы группы, а обычное (необозначаемое) умножение, фактически, групповая операция.

Если b^-1 a b = а, то ab = ba (т.к. данная группа абелева, следовательно, коммутативна).

Доказательство: умножим b^-1ab = a слева и справа от знака равенства на b:

bb^-1ab = ba

Теорема: Трансформация разбивает группу на классы сопряженных элементов.

Доказательство:

1. Рефлексивность: a = 1^-1a1

2. Симметричность: c = b^-1ab Þ

bcb^-1 = bb^-1abb^-1

bcb^-1 = a

(b^-1)^-1cb^-1 = a,пусть B = b^-1

B^-1cB = a, т.е. если а - трансформация с, то с - трансформация а

3. Транзитивность: c = b^-1ab, c=d^-1cd

e = d^-1b^-1abd

e = (bd)^-1abd

e = D^-1aD bdd^-1b^-1 =1, (bd)^-1 (bd)= 1 Û d^-1b^-1 = (bd)^-1

Теорема: Трансформация подгруппы H элементом bÎG есть подгруппа группы G, изоморфная Н.

Доказательство:

1. C₁= b^-1x₁b

C₂= b^-1x₂b, x₁, x₁ ÎH

C₁C₂= b^-1x₁bb^-1x₂b

2. b^-11b = 1 (т.е. 1 исходной группы остается 1 полученной группы)

3. a = b^-1xb

a^-1 = (b^-1xb)^-1 = b^-1x^-1(b^-1)^-1 = b^-1x^-1b

Т.е. в результате (1- 3) мы получаем группу, причем эта процедура сохраняет функциональность, сюръективность, всюду определенность, инъективность, т.е. полученная группа изоморфна исходной.

a²

ab = a²b

b ba²= ab

I a

Подгруппа К группы G называется инвариантной (нормальной), если трансформация любого элемента подгруппы К с помощью любого элемента этой группы дает снова элемент подгруппы К.

K = { I, a, a² } - подгруппа некоторой группы G

ab = ba² = ba^-1 (или a² × a = I / *a^-1, a²aa^-1 = Ia^-1, a² = a^-1)

b^-1ab = b^-1ba^-1

b^-1ab = a^-1 (= a²) - трансформация элемента а с помощью элемента b и она есть элемент группы.

5.4. Группа Диэдра (D₃)

D₃ = {I, a, a², b, ba, ba² }

Для этой группы будут следующие определяющие соотношения:

a³ = b² = (ba)² = I

b

Таблица умножения данной группы:

а

	I	a	a2	b	ba	ba2
I	I	a	a2	b	ba	ba2
a	a	a2	I	ba2	b	ba
a2	a2	I	a	ba	ba2	b
b	b	ba	ba2	I	a	a2
ba	ba	ba2	b	a2	I	a
ba2	ba2	b	ba	a	a2	I

В каждой строке и каждом столбце элементы не повторяются.

a. H = {I, B} пусть f(I) = f(b) = I - некоторый гомоморфизм

a = Ia = (ba)²a = babaa = baba²

f(a) = f(baba²) = f(b) f(a) f(a) f(b²) = f(a)f(a²) = (по предположению f(b) = I)

= f(a³) = f(I) = I

f(a²) = f(a) f(a) = I I = I

f(ba) = f(b) f(a) = I I = I

f(ba²) = f(b) f(a²) = I I = I

Т.е. всю группу D₃ можно отобразить в единичный элемент.

а) f f

H = {I, b} D₃ ® G: D₃ ® I

K = {I, a, a²} f f

D₃ ® G: D₃ ® {I, f(b)}

f(I) = f(a) = f(a²) = I

I

f(ba) = f(b)f(a) = f(b)

f(ba²) = f(b) = f(b)f(b) = f(b²) = I

Группы, имеющие единственный (отличный от единицы) элемент такой, что какая-то степень этого элемента дает I, называется циклической группой n-ой степени.

Если для какой-то группы мы осуществляем гомоморфное отображение, причем какая-то ее подгруппа целиком отображается в единичный элемент группы, то такая подгруппа есть ядро гомоморфизма. Обозначается f ^—1(I).