Неклассические логики 1 страница

Неклассическая логика - совокупность логических теорий, возникших как оппозиция к классической логике, явившихся одновременно и ее критикой, и попыткой ее усовершенствования, и дополнением, и дальнейшим развитием ее идей. Некоторые исходные проблемы неклассической логики обсуждались еще в древности и в средние века, но формирование концептуальных оснований неклассической логики относится к рубежу XIX - ХХ в. Начавшаяся в конце XIX - начале ХХ в. немецким логиком Г. Фреге и британским философом Ч. Пирсом критика классической логики привела к возникновению целого ряда новых неклассических разделов логики. В это же время была подвергнута сомнению неограниченная применимость в математических рассуждениях закона исключенного третьего, двойного отрицания и др. Кроме того, в работах логиков указанного периода была реализована идея перенесения в логику тех методов, которые обычно применяются в математике. Если классическая логика ориентировалась главным образом на анализ математических рассуждений и с этими связаны многие ее особенности, нередко расценивавшиеся как ее недостатки, то новая логика стала ориентироваться и на иные отрасли науки. В результате в процессе развития классическая, или традиционная, логика оказалась лишь одной из многих логических теорий, что, конечно, не не означает, что она представляет теперь только исторический интерес. Классическая логика полностью сохранила и поныне свое значение, в том числе и практическое. Хотя некоторые из неклассических логик формировались в оппозиции к классической логике и даже в полемике с неклассической логикой, классическая логика, как была, так и осталась образцом подхода к логическому анализу мышления, первой теорией, в рамках которой была последовательно и полно осуществлена программа математизации логики.

В начале ХХ в. голландский математик и логик Л. Брауэр, а вслед за ним русский логик Н.А. Васильев подвергли сомнению универсальность и неограниченную приложимость в математических рассуждениях косвенного доказательства, законов исключенного третьего, двойного отрицания и др. В результате к 1930-м гг. на свет появилась интуиционистская логика, не содержащая указанных законов. Основные положения интуиционистской логики были разработаны А. Гейтингом.

В 1912 г. американский логик и философ К.И. Льюис обратил внимание на так называемые "парадоксы импликации", характерные для материальной импликации - формального аналога условного высказывания в классической логике. Материальной импликацией называется особым образом истолкованное условное утверждение. Классическая логика утверждает, что условное суждение "Если А, то В" ложно только в том случае, когда А истинно, а В ложно, и истинно во всех остальных случаях. Оно истинно, в частности, когда А ложно или когда В истинно. Содержательная, смысловая связь утверждений А и В при этом во внимание не принимается. Если даже они никак не связаны друг с другом, составленное из них условное утверждение может быть истинным.

Исходя из этого истинными должны считаться такие, к примеру, утверждения: "Если Марс обитаем, то дважды два равно четырем"; "Если Земля - куб, то Солнце - треугольник" и т.п. Очевидно, что, если даже материальная импликация и полезна для многих целей, она плохо согласуется с обычным пониманием условной связи.

Хуже всего то, что эта импликация плохо выполняет функцию обоснования. Вряд ли являются в каком-либо разумном смысле обоснованиями такие утверждения, как: "Если Наполеон умер на Корсике, то закон Архимеда открыт не им"; "Если медь - египетское божество, она электропроводна". Нельзя сказать, что, поставив перед истинным утверждением произвольное высказывание, мы тем самым обосновали это утверждение. Классическая же логика, утверждающая, что истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения, ведет именно к такому выводу. Именно это и составляет парадокс.

Льюис разработал первую неклассическую теорию логического следования, в основе которой лежало понятие "строгой импликации", определявшееся в терминах логической невозможности. В настоящее время имеется целый ряд теорий, претендующих на более адекватное, чем даваемое классической логикой, описание логического следования и условной связи. Наибольшую известность из них получила релевантная логика, развития американскими логиками А.Р. Андерсоном и Н.Д. Белнапом.

На рубеже 1920-х гг. К.И. Льюис и Я. Лукасевич возродили тему модальностей, которой активно занимались еще Аристотель и средневековые логики. Были построены так называемые "модальные логики", рассматривавшие понятия необходимости, возможности, случайности и т.п.

В 20-е гг. возникла многозначная логика, предполагающая, что утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинностные значения. В это же время начали формироваться: деонтическая логика, изучающая логические связи нормативных понятий; логика абсолютных оценок, исследующая логическую структуру и логические связи оценочных высказываний; вероятностная логика, использующая теорию вероятностей для анализа проблематичных рассуждений, и др. Новые логики не были связаны лишь с математикой, в сферу логического исследования вовлекались уже естественные и гуманитарные науки.

После второй мировой войны появились: логика времени, описывающая логические связи высказываний, у которых временной параметр включается в логическую форму; паранепротиворечивая логика, не позволяющая выводить из противоречия все, что угодно; эпистемическая логика, изучающая понятия "опровержимо", "неразрешимо", "доказуемо", "убежден", "сомневается" и т.п.; логика предпочтений, имеющая дело с понятиями "лучше", "хуже" и "равноценно"; логика изменения, говорящая об изменении и становлении; логика причинности, изучающая утверждения о детерминизме и причинности, и др. Все эти логики нашли интересные приложения.

В настоящее время неклассическая логика является наиболее интенсивно развивающейся частью логики, нашедшей важные приложения в философии, математике, информатике физике, языкознании и т.д. Между неклассическими разделами существуют сложные и многообразные связи. Так, интуиционистская и модальная логики могут быть истолкованы как определенного рода многозначные логики (а именно, как бесконечнозначные логики). В рамках модальной логики может быть определено понятие логического следования; в свою очередь, в терминах неклассических импликаций определимы модальные понятия и т.д.

Многозначная логика - совокупность логических систем, опирающихся на принцип многозначности. Принцип многозначности - положение, в соответствии с которым всякое высказывание имеет одно (и только одно) из трех или более истинностных значений. Принцип многозначности противопоставляется принципу однозначности, лежащему в фундаменте классической логики. Согласно принципу однозначности, всякое высказывание является либо истинным, либо ложным, т.е. принимает одно из двух возможных истинностных значений:"истинно" или "ложно". Согласно же принципу многозначности, высказывание имеет одно из n значений истинности, где n больше двух; n может быть как конечным, так и бесконечным. В числе этих значений могут быть и такие значения, как "неопределенно", "возможно", "бессмысленно" и т.п.

Принцип двузначности был известен еще Аристотелю, который не считал его, однако, универсальным и не распространял его действие на высказывания о будущем. Он писал, в частности, что два враждебных флота расположились друг против друга и выжидают утра и вместе с ним подходящего ветра. Будет ли завтра морская битва? Очевидно, что она или состоится, или же не состоится. Но, по мысли Аристотеля, ни одно из этих двух предсказаний не является сегодня ни истинным, ни ложным. Нет еще твердой причины ни для того, чтобы битва произошла, ни для того, чтобы ее не случилось. Оба варианта возможны в равной мере, и все будет зависеть от дальнейшего хода событий. Могут измениться планы флотоводцев, может случиться буря и разметать флоты по морю. Пока же нельзя утверждать с определенностью ни то, что битва будет, ни то, что ей не бывать. Оба эти утверждения возможны, но ни одно из них не является сейчас ни истинным, ни ложным. Аналогично обстоит дело с вопросом, будет ли данный плащ разрезан или нет. Все зависит от решения его хозяина, а оно может измениться в любой момент.

Аристотель считал, что, высказывания о будущих случайных событиях, наступление которых зависит от воли человека, не являются ни истинными, ни ложными. Они не подчиняются принципу двузначности. Прошлое и настоящее однозначно определены и не подвержены изменению. Будущее же в определенной мере свободно для изменения и выбора.

Мнение Аристотеля разделял Эпикур, допускавший существование случайных событий, в то же время древнегреческий логик Хрисипп не соглашался с Аристотелем по поводу возможности случайных событий. Хрисипп считал принцип двузначности одним из основных положений не только всей логики, но и философии. Принцип двузначности оспаривался многими мыслителями по разным причинам. Указывалось, в частности, на то, что он затрудняет анализ высказываний о будущем, высказываний о неустойчивых, переходных состояниях, о несуществующих объектах, подобных "нынешнему королю Франции", об объектах, недоступных наблюдению, наподобие "абсолютно черного тела", и т.д. Но только в современной логике оказалось возможным разрешить проблему универсальности принципа двузначности в форме логических систем. Этому способствовало широкое использование математического аппарата, давшее возможность осуществить формальный подход к логическим проблемам.

Первыми логическими системами, опирающимися на принцип многозначности, были трехзначная логика Я. Лукасевича и многозначная логика Э. Поста, в которой высказываниям приписывались значения из конечного множества натуральных чисел 1, 2,..., n, где n больше единицы и конечно. Введение в логику многозначных систем обострило проблему содержательно ясной интерпретации формальных логических построений. Как только допускается более двух значений истинности, встает вопрос: что, означают промежуточные истинностные значения? Если истина понимается как соответствие мысли действительному положению дел, то существуют ли вообще высказывания, не являющиеся ни соответствующими действительности, ни несоответствующими действительности? Введение промежуточных значений истинности изменяет смысл самих понятий истины и лжи. Поэтому нужно было говорить не просто о придании смысла промежуточным значениям истинности, о переистолковании двух данных понятий. Истина и ложь, как они понимаются в классической двузначной логике, несовместимы с допускаемыми принципом многозначности дополнительными значениями истинности. Несмотря на большое число имеющихся многозначных логик, проблема обоснования принципа многозначности и необходимости многозначной логики до сих пор не имеет общепризнанного решения.

Один из предложенных подходов заключается в том, что в случае допущения более двух значений истинности крайними значениями являются "явная истина" и "явная ложь", а промежуточные значения представляют собой постепенно убывающие градации истины и постепенно возрастающие градации лжи. В предельном случае трехзначной логики промежуточное между "истинно" и "ложно" значение истолковывается как некоторая "неопределенность" ("возможность", "проблематичность" и т.п.), равноотстоящая от обоих достаточно точных и определенных полюсов.

Имеется и другой возможный подход к обоснованию многозначной логики, согласно которому между истиной и ложью нет никаких промежуточных значений и, следовательно, многозначная логика имеет дело не с "расщеплением" истины на систему выделенных значений и лжи на систему невыделенных значений, а с некоторыми дополнительными характеристиками высказываний, отличными от их истинностных значений. В этом случае нет необходимости настаивать на том, что наряду с истиной и ложью имеются иные истинностные значения. Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным, но многозначная логика, в отличие от двузначной, стремится учесть не только это обстоятельство, но и особенности той области, в которой высказывание истинно, метод, с помощью которого устанавливается его истинность, и т.д. А. Роуз в соответствии с этим принципом построил девятизначную логику, в которой геометрическим высказываниям приписываются значения: 1) "Истинно в геометриях Евклида, Римана и Лобачевского"; 2) "Истинно в геометриях Евклида и Римана, но ложно в геометрии Лобачевского"; 3) "Истинно в геометриях Евклида и Лобачевского, но ложно в геометрии Римана" и т.д. Этой многозначной логикой не предполагается, что, помимо истины и лжи, имеются еще какие-то значения истинности.

Еще одним примером такого рода является четырехзначная логика, в которой высказывания делятся не только на истинные и ложные, но также на чисто абстрактные, или математические, и конкретные, содержащие ссылку на некоторые эмпирические объекты. Значение 1 приписывается истинному абстрактному высказыванию, 2 - истинному конкретному, 3 - ложному конкретному и 4 - ложному абстрактному.

Самым известным подходом к интерпретации многозначных логических систем явилась трехзначная логика Я. Лукасевича. Лукасевич считал, что высказывания должны делиться на истинные, ложные и парадоксальные. Значение "парадоксально" приписывается высказываниям типа "Данное утверждение является ложным", т.е. таким утверждениям, из допущения истинности которых вытекает их ложность, а из допущения ложности вытекает их истинность.

В некоторых многозначных логиках промежуточное значение истолковывалось как "бессмысленно". К бессмысленным относятся высказывания типа "Наполеон - наибольшее натуральное число" и т.п. Это значение истолковывалось как "неизвестно" или "неопределенно". Неопределенное высказывание - это высказывание, относительно которого в силу каких-либо (возможно, меняющихся от случая к случаю) оснований нельзя сказать, что оно истинно или ложно. К неопределенным могут относиться, в частности, высказывания, истинностное значение которых является разным в разные моменты времени, например: "Идет дождь", высказывания с различного рода переменными и т.д. Эти примеры показывают, что одна и та же многозначная система может иметь разные интерпретации, причем "неестественность" некоторых из них не означает, что столь же "неестественной" будет и каждая иная интерпретация.

Многозначная логика более богата содержанием, чем двузначная. Так, если в двузначной логике имеются только четыре разные функции от одного аргумента, то в трехзначной логике их уже двадцать семь. Это позволило определить в рамках многозначной логики такие понятия, которые не имеют ясного значения и четкого определения в рамках классической двузначной логики. Речь идет прежде всего о таких понятиях, как "необходимо", "возможно", "случайно" и т.п.

Многозначная логика нашла большое число приложений, интересных в теоретическом или практическом отношении. Прежде всего открытие многозначной логики заставило по-новому взглянуть на саму логику, ее предмет и используемые ею методы. Имеется множество попыток содержательно обосновать многозначные логические системы. Однако до сих пор остается спорным, являются ли такие системы чисто гипотетическими или же они все-таки описывают процессы нашего мышления. При этом многозначная логика вовсе не отрицает и не дискредитирует двузначную. Напротив, первая позволяет более ясно понять идеи, лежащие в основе второй, и является в определенном смысле ее обобщением. Рассмотрим некоторые из многозначных логик.

ТРЕХЗНАЧНАЯ СИСТЕМА ЛУКАСЕВИЧА

Трехзначная пропорциональная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 г. В ней значение "истина" обозначается 1, "ложь" - 0, "нейтрально" - 1/2. В качестве основных функций взяты: отрицание (Nx) и импликация; производными являются конъюнкция (Кху) и дизъюнкция (Аху). Тавтология принимает значение 1.

Отрицание и импликация соответственно определяются матрицами:

х	Nx
1/2	1/2

у х		1/2
		1/2
1/2			1/2

и равенствами:

1) Nx = 1-x; 2) Cxy = 1, если x £ y; 3) Cxy = 1- x + y, если x > y или в общем виде: 4) Cxy = min (1, 1 - x + y).

Конъюнкция определяется как минимум значений аргументов: Kxy = min (x,y), дизъюнкция - как максимум значений х и у: Аxy = max (x, y).

На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъюнкции в системе Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики, а также отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего. Поэтому логика Лукасевича не является отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являются правила двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: а®b º`b ®`a.

Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики: (х ®`х) ®`х и (х®(`у & у)) ®`х (т.е. если из х вытекает противоречие, то из этого следует отрицание х).

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы, структурно выражающие правильные дедуктивные умозаключения традиционной логики, формализованные средствами алгебры логики, вроде простой деструктивной дилеммы или разделительно-категорического умозаключения с нестрогой дизъюнкцией.

Все тавтологии Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение 1/2, то в логике Лукасевича и в двузначной логике определения функций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответственно совпадут. Но так как у Лукасевича имеется третье значение истинности - 1/2, то не все тавтологии двузначной логики являются тавтологиями в логике Лукасевича.

ТРЕХЗНАЧНАЯ СИСТЕМА ГЕЙТИНГА

В двузначной логике из закона исключенного третьего выводятся: 1) ù`х ® х; 2) х ®ù`х. Исходя из утверждения, что истинным является лишь второе Гейтинг разработал трехзначную пропорциональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определения этих операций у Лукасевича лишь в одном случае: ("истина" обозначается как 1, "ложь" - 0, "неопределенность" 1/2).

Отрицание Гейтинга:

х	Nx
1/2

Импликация Гейтинга:

у х		1/2
		1/2
1/2

1) Cxy = 1, если x £ y; 2) Cxy = у, если x >y.

Конъюнкция и дизъюнкция определены обычным способом как минимум и максимум значения аргументов.

Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики. В этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавтологией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных модуса условно-категорического умозаключения, формула (х ® у) ® (`у ®`х) и другие также являются тавтологиями.

Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрицания и импликации Гейтинга в его системе были произведены незначительные изменения, результаты оказались значительными: в системе Гейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления высказываний.

ТРЕХЗНАЧНАЯ СИСТЕМА БОЧВАРА

Система советского логика Д. А. Бочвара построена на разделении высказываний на имеющие смысл (т.е. истинные или ложные) и бессмысленные. Бочвар выделяет внешние и внутренние формы (функции). Внутренние формы Бочвар называет классическими содержательными функциями переменных высказываний, а внешние формы - неклассическими. У Бочвара "истина" обозначается как R, "ложь" как F, "бессмысленность" как S. Мы будем обозначать "истина" как 1, "ложь" как 3, "бессмысленность" как 2. Тавтология принимает значение 1; a, b, c... обозначают переменные высказывания.

Бочвар ввел два вида отрицания - внутреннее и внешнее, которые определяются по таблице, они обозначаются: ~а - внутреннее отрицание, ù а - внешнее отрицание и`а - внутреннее отрицание внешнего утверждения.

В системе Бочвара ни закон тождества двузначной логики, ни его отрицание не являются тавтологиями. Отрицание закона тождества сыграло важную роль при анализе парадокса Рассела. Бочвар не отбрасывает принцип "а есть а" или "а «а", он лишь считает, что эта формула является недоказуемой.

Противоречиями в логике Бочвара являются следующие формулы: 1) а &ù а; а ºù а; 3) а «`а. При этом знак "º" обозначает внешнюю равнозначность (эквивалентность), а знак "«" обозначает внешнюю равносильность.

Бочвар строил свое трехзначное исчисление с целью разрешения парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. В частности, с помощью своей системы Бочвар смог разрешить парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств, доказав существование такого предмета, как множество всех нормальных множеств. Это означает, что, поскольку предметная действительность состоит из фиксированных предметов, о которых можно рассуждать по законам классической формальной логики, множество всех нормальных множеств нельзя рассматривать как фиксированный предмет, не изменяющийся в то время, пока о нем идет речь. Система Бочвара позволяет элиминировать парадокс Рассела, не прибегая к теории типов.

n -ЗНАЧНАЯ СИСТЕМА ПОСТА.

Система Поста является обобщением двузначной логики, ибо при n = 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. По мнению Поста, значения истинности суть 1, 2,... n (при n ³ 2), где n - конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает такое значение i, что 1£ i £ S, где 1£ S £ n-1; значения 1,..., S называются выделенными или отмеченными; возможно, что S > 2.

Пост вводит два вида отрицания, называемые циклическим и симметричным (N1x и N2x). Они определяются с помощью матриц и посредством равенств.

Первое отрицание определяется двумя равенствами:

1) N1x = x +1 при x £ n-1;

2) N1n = 1.

Второе отрицание определяется одним равенством:

N2x = n - x +1.

Матрица, определяющая эти отрицания,имеет следующий вид:

х	Циклическое	Симметричное
		n
		n-1
		n-2
		n-3
·	·	·
·	·	·
·	·	·
n-1	n
n

Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при n = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис о том, что многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики.

Конъюнкция и дизъюнкция определяются Постом соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При указанных определениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х > 2 законы непротиворечия и исключенного третьего не являются тавтологиями.

Если значениями истинности являются 1, 2, 3, то из n-значной системы Поста вычленяется трехзначная логика, т.е. Р3. Аналогично при значениях истинности 1, 2, 3, 4 получается четырехзначная логика Р4 и т.п.

Трехзначная система Р3 Поста имеет следующую форму:

p	~3p	`~3p
Пояснения	Первое отрицание	Второе отрицание

q p	p × 3q 1 2 3	p Ú 3q 1 2 3	p É 3q 1 2 3	p º 3q 1 2 3
	1 2 3	1 1 1	1 2 3	1 2 3
	2 2 3	1 2 2	1 2 2	2 2 2
	3 3 3	1 2 3	1 1 1	3 2 1
Пояснения	max (p, q)	min (p, q)	`~3p) v 3q	(p É 3q)Ù3 (q É 3p)

В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при n = 3; первое отрицание обозначено через (~3p), второе отрицание - через (`~3p), конъюнкция через (p × 3q), дизъюнкция - через (p Ú 3q), импликация через (p É 3q), эквиваленция через (p º 3q).

Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 "истина" и 3 "ложь", то из таблиц системы Р3 Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.

В системе Р3 тавтология принимает значение 1; закон исключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но закон исключенного четвертого является тавтологией для первого отрицания.

ТРЕХЗНАЧНАЯ СИСТЕМА РЕЙХЕНБАХ

Аппарат трехзначной логики Г. Рейхенбаха широко применяется в квантовой механике. Сам Рейхенбахсчитал, что введение третьего значения истинности не делает все высказывания квантовой механики трехзначными. Рамки трехзначной логики достаточно широки, чтобы включать класс истинно-ложных формул. Когда мы хотим все высказывания квантовой механики вести в состав трехзначной логики, то руководящей идеей будет: поместить в истинно-ложный класс те высказывания, которые мы называем законами квантовой механики. Большинство операций трехзначной логики Г. Рейхенбаха было введено уже Постом, но Рейхенбах в целях приложения этой логической системы к квантовой механике ввел новые. У Поста было введено два вида отрицания - первое и второе. В системе Рейхенбаха они называются циклическим отрицанием и диаметральным отрицанием. Рейхенбах ввел также третий вид отрицания - полное отрицание. В системе Рейхенбаха имеются стандартная импликация (É) и стандартная эквивалентность (º). Наряду с этим вводятся и другие операции: альтернативная импликация (®), квазиимпликация (э) и альтернативная эквивалентность (º). Знаком "˙" обозначается конъюнкция, а знаком "Ú" дизъюнкция.

Таблица для трех видов отрицания Рейхенбаха имеет следующие обозначения: ~ A - циклическое отрицание; – А - диаметральное отрицание; `А - полное отрицание. Рейхенбах обозначил "истину" как 1, "неопределенность" как 2, "ложность" как 3. Тавтология принимает значение 1:

А	~ A	– А	`А

Другие функции Рейхенбаха определяются матрицей: