Системы и цепи под воздействием параметрических возмущений: численные и аналитические решения

Переходные процессы в электрических цепях с двумя накопителями энергии, а также в динамических системах, содержащих массу и пружину (эквивалентных с позиций динамических аналогий электрическим цепям), описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. В простейших случаях, если элементы системы обладают линейными характеристиками «вход-выход», уравнения динамики также являются линейными. Решения линейных уравнений хорошо изучены. Для систем невысокого порядка всегда возможно получить выражения для интересующих исследователя переменных состояния в аналитическом виде, не обращаясь к вычислительным средствам. Системы, порядок которых достаточно высок, также допускают аналитические решения. Однако для получения конкретных результатов требуется решать проблему собственных значений. Определение корней характеристического уравнения высокого порядка – задача, в общем виде не поддающаяся аналитическому решению, ввиду отсутствия стандартных процедур, подобных, например, нахождению корней уравнения второй степени. При воздействии на систему внешних сигналов (возмущающих сил, ЭДС сложной формы и др.) аналитические решения становятся громоздкими, и процессы в системе теряют ясный физический смысл [19], [20]. В таких ситуациях вести исследования или изучать протекающие во времени процессы в системах без использования вычислительных средств чрезвычайно затруднительно.

Динамические процессы в нелинейных системах, то есть в системах, содержащих в своей структуре, по крайней мере, один элемент с нелинейной характеристикой «вход-выход» (например, нелинейную емкость, индуктивность, пружину с нелинейной жесткостью и др.), описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В аналитическом виде нелинейные уравнения могут решаться лишь для ограниченного класса систем, а сами решения громоздки и трудоемки. Процессы в нелинейных системах наиболее эффективно исследовать на компьютерах.

Поскольку моделирование динамических процессов в электрических цепях и механических системах связано с решением дифференциальных уравнений (линейных и нелинейных), мы можем для этих целей рекомендовать использование решателей ODE в среде MatLAB [18]. Для работы с решателями нет никакой необходимости знать их внутреннюю структуру. Требуется лишь уметь их использовать в качестве рабочего инструментария. Ситуация напоминает практическое использование исправного личного автомобиля: успешно эксплуатируя автомобиль, вы можете иметь лишь общие представления о сложных физических процессах, происходящих в двигателе и рабочих режимах других его узлов.